Repositorio de fórmulas para el Curso de Electrodinámica Cuántica de Javier García

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Fórmulas del Curso de Teoría Cuántica de Campos
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Capítulo 1: Lagrangiano de Dirac

(1.1) Propiedades matrices de Dirac \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2g^{\mu\nu} (\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0
(1.2) Ecuación de Dirac i\partial_0\psi = -i\gamma^0\gamma^k \partial_k \psi + \gamma^0 m \psi (i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0 \bar{\psi}(i\gamma^\mu \!\!\stackrel{\leftarrow}{\partial}_\mu + m) = i\partial_\mu \bar{\psi}\gamma^\mu + m \bar{\psi} = 0 Donde: \bar{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0
(1.3) Lagrangiano de Dirac \hat{H} = \int \mathcal{H}\mathrm{d}^3x \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \pi} = \partial_0 \psi = -\gamma^0\gamma^k \partial_k \psi - i\gamma^0 m \psi \mathcal{H}_{\mathrm{Dirac}} = \bar{\psi}\left(-i\gamma^k \partial_k + m\right) \psi \pi = i\psi^\dagger \mathcal{L}_{\mathrm{Dirac}} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi
(1.4) Lagrangiano de QED \mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = \mathcal{L}_{\mathrm{Dirac}} + \mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}} + \mathcal{L}_{\mathrm{int}}

Capítulo 2: Lagrangiano de QED

(2.1) Invariancia $U(1)$ global \text{Sea una transformación } U(1): \psi(x) \to \psi'(x) = e^{i\theta}\psi(x) \mathcal{L}_{\mathrm{Dirac}} \to \mathcal{L}'_{\mathrm{Dirac}} = \mathcal{L}_{\mathrm{Dirac}}
(2.2) Transformacion $U(1)$ local \text{Sea una transformación } U(1): \psi(x) \to \psi'(x) = e^{i\theta(x)}\psi(x) \mathcal{L}_{\mathrm{Dirac}} \to \mathcal{L}'_{\mathrm{Dirac}} = \mathcal{L}_{\mathrm{Dirac}} - (\partial_\mu \theta)\bar{\psi}\gamma^\mu \psi
(2.3) Campo electromagnético "de fondo" \mathcal{L}_{\mathrm{fondo}} = \bar{\psi} (i\gamma^\mu (\partial_\mu + iqA_\mu) - m)\psi \mathcal{H} = \bar{\psi} (-i\gamma^k (\partial_k + iqA_k) + m)\psi (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = q\gamma^\mu A_\mu Invariancia gauge \text{El lagrangiano } \mathcal{L}_{\mathrm{fondo}} \text{ es invariante bajo} \psi(x) \to \psi'(x) = e^{i\theta(x)}\psi(x) A_\mu(x) \to A'_\mu(x) = A_\mu(x) - \frac{1}{q}\partial_\mu \theta(x)
(2.4) Electrodinámica Cuántica \mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = i\bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu\psi - m\bar{\psi}\psi - qA_\mu\bar{\psi}\gamma^\mu\psi -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \mathcal{L}_{A\bar{\psi}\psi} = -qA_\mu\bar{\psi}\gamma^\mu\psi \mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = \bar{\psi} (i\gamma^\mu D_\mu - m) \psi -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}
(2.5) Ejercicio \text{Demostrar que la transformación } \psi(x) \to \psi'(x) = M\psi(x) \text{ más general que deja la ecuación de Dirac invariante es } M = e^{i\theta}. Soluciones enviadas Roger Balsach
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 Miguel Ángel Montañez
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 Rodolfo Guidobono
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Capítulo 3: Invariancia Lorentz del lagrangiano QED

(3.1) Transformaciones de los campos \psi' = S\psi \bar{\psi}' = \bar{\psi} \gamma^0 S^\dag \gamma^0 A_\mu' = (\Lambda^{-1})^{\alpha}{}_\mu A_\alpha = \Lambda_\mu{}^\alpha A_\alpha
(3.2) Invariancia Lagrangiano QED \bar{\psi}'\psi' = \bar{\psi}\psi \Longleftrightarrow S^{-1}=\gamma^0 S^\dag \gamma^0 \bar{\psi}'\gamma^\mu\psi'A'_\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi A_\mu \Longleftrightarrow S^{-1}\gamma^\mu S = \Lambda^\mu{}_\nu \gamma^\nu
(TCC 40.3) Transformación general de Lorentz en esta representación S \left[ \Lambda \left( \omega_{\mu \nu} \right) \right] = \exp \left( \frac{-i}{2} \omega_{\mu \nu} \frac{ \sigma^{\mu \nu} }{2} \right) \omega_{\mu \nu} = - \omega_{\nu \mu} \in \R
(TCC 39.6) Transformación de Lorentz en el espacio-tiempo \Lambda = \exp\left( \frac{1}{2} \omega_{ \mu \nu } M^{ \mu \nu } \right)
(3.3) Invariancia acción QED S_{\mathrm{QED}} = \int \mathcal{L}_{\mathrm{QED}} \mathrm{d}^4x \mathcal{L}'_{\mathrm{QED}} = \mathcal{L}_{\mathrm{QED}} \mathrm{d}^4x' = \mathrm{d}^4x

Capítulo 4: QED describe partículas de spin 1/2 y 1

(TCC 51.3) Momento angular generalizado [J_i, J_j] = i\varepsilon_{ijk}J_k J^2 = J_1^2+J_2^2+J_3^2 = j(j+1) \mathbb{I} (\hbar = 1)
(4.1) Spin de los fermiones de Dirac (TCC 40.1) Generadores $G^{\mu\nu}$ de la representación
espinoral del grupo de Lorentz J_1 = G^{23} = \frac{\sigma^{23}}{2}, \qquad J_2 = G^{31} = \frac{\sigma^{31}}{2}, J_3 = G^{12} = \frac{\sigma^{12}}{2} \left(\frac{\sigma^{23}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sigma^{31}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sigma^{12}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}\mathbb{I} j = \frac{1}{2}
(4.2) Spin de los fotones (TCC 39.7) Generadores $J^\mu$ del grupo de Lorentz J_1 = iM^{23}, \qquad J_2 = iM^{31}, \qquad J_3 = iM^{12} \left(iM^{23}\right)^2+\left(iM^{31}\right)^2+\left(iM^{12}\right)^2 = 2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} j = 1
(4.3) Teorema de Noether para varios campos j^\mu = \sum_i j_i^\mu (MT 35.3) Teorema de Noether j^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\delta \phi - T^\mu{}_\nu \delta x^\nu (MT 34.8) Tensor de Energía-Momento para un campo escalar T^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\partial^\nu \phi - g^{\mu\nu}\mathcal{L} j^\mu = \sum_i \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi_i)}\delta \phi_i - \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi_i)}\partial_\nu \phi_i - \delta^{\mu}_\nu\mathcal{L}\right) \delta x^\nu\right]
(4.4) Variación bajo transformaciones infinitesimales \delta x^\mu = \omega^\mu{}_\nu x^\nu, \qquad A^\mu = \omega^\mu{}_\nu x^\nu \delta \psi = -\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}\frac{\sigma^{\mu\nu}}{2}\psi, \qquad \delta \bar{\psi} = \bar{\psi}\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}\frac{\sigma^{\mu\nu}}{2} Rotaciones \omega_{0i}=0
(4.5) Conservación del momento angular \text{Usando el Teorema de Noether} j^0 = j^0_\psi + j^0_{\bar{\psi}} + j^0_A j^0_\psi = \psi^\dag \vec{\omega} \cdot \left(\vec{\Sigma} + \vec{L}\right)\psi j^0_{\bar{\psi}} = 0 j^0_A = i E^i \vec{\omega}\cdot (\vec{J}^i{}_j + \delta^i_j\vec{L}) A^j \vec{\omega} = (\omega_{23}, \omega_{31}, \omega_{12}) L^i = -i\varepsilon_{ijk} x^j \partial_k \Sigma^i = \frac{1}{2}\left(\begin{array}{c:c} \sigma^i & 0\\ \hdashline 0 & \sigma^i\\ \end{array}\right)
(4.6) Momento angular total \vec{J} = \vec{\Sigma}_\psi + \vec{L}_\psi + \vec{\Sigma}_A + \vec{L}_A
(4.7) Ejercicio \text{Calcular la contribución del fotón a la carga conservada } j^0. Soluciones enviadas Roger Balsach
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 Miguel Ángel Montañez
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Capítulo 5: Invariancia Rotaciones implica Conservación Helicidad

(5.1) Operadores helicidad Fermión h_\psi = \frac{\vec{p}\cdot\vec{\Sigma}}{|\vec{p}|} = \frac{1}{2|\vec{p}|}\begin{pmatrix} \vec{p}\cdot\vec{\sigma} & 0\\ 0 & \vec{p}\cdot\vec{\sigma}\\ \end{pmatrix} Fotón h_A = \frac{1}{|\vec{k}|}\begin{pmatrix} 0 & -ik_z & ik_y\\ ik_z & 0 & -ik_x\\ -ik_y & ik_x & 0\\ \end{pmatrix}
(5.2) Carga conservada j^0 = \psi^\dagger h_\psi \psi + \vec{A}^* h_A \vec{A}
(5.3) Ejercicio \text{Demostrar que } h_A \text{ con } \vec{k} = |\vec{k}|(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta) \text{ tiene los siguientes vectores propios:} \hat{e}_{+1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi-i\sin\phi\\ \cos\theta\sin\phi+i\cos\phi\\ -\sin\theta\\ \end{pmatrix}\!\!,\;\hat{e}_{0} = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi\\ \sin\theta\sin\phi\\ \cos\theta\\ \end{pmatrix}\!\!,\;\hat{e}_{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \cos\theta\cos\phi+i\sin\phi\\ \cos\theta\sin\phi-i\cos\phi\\ -\sin\theta \end{pmatrix} Soluciones enviadas Roger Balsach
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 Rodolfo Guidobono
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 Miguel Ángel Montañez
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Capítulo 6: Cálculo heurístico de la sección no polarizada de una colisión

(6.1) Amplitud $e^- e^+ \to \mu^- \mu^+$ \mathcal{M}_{e^-e^+\to\mu^-\mu^+} \sim \braket{ \mu^+\mu^- \vert H_I \vert \gamma }^\mu \braket{ \gamma \vert H_I \vert e^-e^+ }_\mu \braket{ \gamma(\theta, \phi) \vert H_I \vert e^-e^+ }^\mu \sim \hat{e}^\mu_{\pm 1}(\theta, \phi) \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} \sim \frac{1}{4}\left(|\mathcal{M}_1|^2+|\mathcal{M}_2|^2+|\mathcal{M}_3|^2+|\mathcal{M}_4|^2\right) \sim 1 + \cos^2(\theta)
(6.2) Ejercicio \text{Calcular las siguientes amplitudes} \begin{aligned} 1) \hspace2ex & \mathcal{M}_1 = \mathcal{M}_{e^-_Re^+_L\to \mu^-_R\mu^+_L}\\ 2) \hspace2ex & \mathcal{M}_2 = \mathcal{M}_{e^-_Re^+_L\to \mu^-_L\mu^+_R}\\ 3) \hspace2ex & \mathcal{M}_3 = \mathcal{M}_{e^-_Le^+_R\to \mu^-_R\mu^+_L}\\ 4) \hspace2ex & \mathcal{M}_4 = \mathcal{M}_{e^-_Le^+_R\to \mu^-_L\mu^+_R}\\ \end{aligned} Soluciones enviadas Roger Balsach
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 Rodolfo Guidobono
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 Miguel Ángel Montañez
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Capítulo 7: The Theory Of Positrons R.P. Feynman, 1949

(TCC 14.2) Función de Green f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x,x') \ g(x') \ dx' Que, dado un operador A, A \left[ f(x) \right] = g(x) cumple: A \left[ G(x, x') \right] = \delta(x - x')
(7.1) Propagador / Función de Green \left[i\frac{\partial}{\partial t} - (\hat{H}_0 + \hat{V})\right] \psi = 0 \left[i\frac{\partial}{\partial{t_2}}-(\hat{H}_0 + \hat{V})\right]K(\vec{x}_2, t_2;\vec{x}_1, t_1) = i\delta^{(4)}(x_1-x_2) \psi(\vec{x}_2, t_2) = \int K(\vec{x}_2, t_2;\vec{x}_1, t_1) \psi(\vec{x}_1,t_1)\mathrm{d}^3 x_1
(7.2) Propagador en la base propia del hamiltoniano (\hat{H}_0 + \hat{V})\phi_n(\vec{x}) = E_n \phi_n(\vec{x}) K(\vec{x}_2, t_2;\vec{x}_1, t_1) = \begin{cases} \sum_n \phi_n(\vec{x}_2)\phi_n^*(\vec{x}_1)e^{-i(t_2-t_1)E_n} & t_2 > t_1\\ 0 & t_2 < t_1 \end{cases}
(7.3) Relación con el propagador libre K(\vec{x}_2, t_2;\vec{x}_1, t_1) = K_0(\vec{x}_2, t_2;\vec{x}_1, t_1) + K^{(1)}(\vec{x}_2, t_2;\vec{x}_1, t_1) + K^{(2)}(\vec{x}_2, t_2;\vec{x}_1, t_1) + \cdots Donde: \left[i\frac{\partial}{\partial{t_2}}-\hat{H}_0\right]K_0(\vec{x}_2, t_2;\vec{x}_1, t_1) = i\delta^{(4)}(x_1-x_2) K^{(1)}(\vec{x}_2, t_2;\vec{x}_1, t_1) = -i \int K_0(\vec{x}_2, t_2;\vec{x}_3, t_3)V(\vec{x}_3)K_0(\vec{x}_3, t_3;\vec{x}_1, t_1)\mathrm{d}^4x_3 K^{(2)}(x_2;x_1) = (-i)^2 \int K_0(x_2;x_4)V(\vec{x}_4)K_0(x_4;x_3)V(\vec{x}_3)K_0(x_3;x_1)\mathrm{d}^4x_3\mathrm{d}^4x_4
(7.4) Propagador de Dirac (i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = q\gamma^\mu A_\mu \psi H_0 = -i\gamma^0 \gamma^j\partial_j + \gamma^0 m, \qquad V=q\gamma^0\gamma^\mu A_\mu K_+(x_2;x_1) = \begin{cases} \sum_{\{n:E_n>0\}} \phi_n(\vec{x}_2) \bar{\phi}_n(\vec{x}_1) e^{-i(t_2-t_1)E_n} & t_2 > t_1\\ -\sum_{\{n:E_n<0\}} \phi_n(\vec{x}_2)\bar{\phi}_n(\vec{x}_1)e^{-i(t_2-t_1)E_n} & t_2 < t_1 \end{cases}
(7.5) Ejercicio \text{Demostrar que el propagador } K(x_2;x_1) = K_0(x_2;x_1)-i\int K_0(x_2;x_3)V(\vec{x}_3)K(x_3;x_1)\mathrm{d}^4x_3 \text{cumple la ecuación (7.1)}. Soluciones enviadas Roger Balsach
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 Miguel Ángel Montañez
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Capítulo 8: Forma explícita de los espinores para el electrón y el positrón

(QED 1.2) Ecuación de Dirac (i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0
(8.1) Ecuación de Dirac (representación de momentos) \psi(x,t) = u(\vec{p}) e^{-ipx} (\gamma^\mu p_\mu - m)u(\vec{p}) = 0 \begin{pmatrix}p_0 - m & -\vec{\sigma}\cdot \vec{p} \\ \vec{\sigma}\cdot \vec{p} & -p_0 - m\end{pmatrix}u(\vec{p}) = 0
(TCC 42.2) Estados de helicidad \chi_+ = \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \chi_- = \begin{pmatrix} -e^{-i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \\ \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix}
(8.2) Soluciones ecuación de Dirac u_1(\vec{p}) = \sqrt{E + m} \begin{pmatrix}\chi_+ \\ \frac{\vec{\sigma}\cdot \vec{p}}{E + m}\chi_+\end{pmatrix} u_2(\vec{p}) = \sqrt{E + m} \begin{pmatrix}\chi_- \\ \frac{\vec{\sigma}\cdot \vec{p}}{E + m}\chi_-\end{pmatrix} E = \sqrt{|\vec{p}|^2+m^2} u_3(\vec{p}) = \sqrt{-E + m} \begin{pmatrix}\frac{\vec{\sigma}\cdot \vec{p}}{E - m}\chi_+ \\ \chi_+\end{pmatrix} u_4(\vec{p}) = \sqrt{-E + m} \begin{pmatrix}\frac{\vec{\sigma}\cdot \vec{p}}{E - m}\chi_- \\ \chi_-\end{pmatrix} E = -\sqrt{|\vec{p}|^2+m^2}
(8.3) Tratamiento soluciones con energía negativa v_1(\vec{p}) = u_4(-E, -\vec{p}) v_2(\vec{p}) = u_3(-E, -\vec{p})
(8.4) Spinores de Dirac u_1(\vec{p}) = \sqrt{E + m} \begin{pmatrix}\chi_+ \\ \frac{\vec{\sigma}\cdot \vec{p}}{E + m}\chi_+\end{pmatrix} u_2(\vec{p}) = \sqrt{E + m} \begin{pmatrix}\chi_- \\ \frac{\vec{\sigma}\cdot \vec{p}}{E + m}\chi_-\end{pmatrix} v_1(\vec{p}) = \sqrt{E + m} \begin{pmatrix}\frac{\vec{\sigma}\cdot \vec{p}}{E + m}\chi_- \\ \chi_-\end{pmatrix} v_2(\vec{p}) = \sqrt{E + m} \begin{pmatrix}\frac{\vec{\sigma}\cdot \vec{p}}{E + m}\chi_+ \\ \chi_+\end{pmatrix}
(8.5) Ejercicio \text{Demostrar que las expresiones de la fórmula 8.2} \text{cumplen la ecuación de Dirac} Soluciones enviadas Roger Balsach
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Capítulo 9: Cuantización del campo de DIRAC

(TCC 45.1) Solución general de la ecuación de Dirac \psi = \sum_{r=1}^2 \int \frac{1}{\sqrt{2 \omega_k}}\left(c_r(\vec{k}) u_r(\vec{k})e^{-ikx} + d_r(\vec{k})v_r(\vec{k})e^{ikx} \right)\frac{d^3 k}{(2\pi)^3} Donde \vec{p} = \hbar \vec{k} k^0 = \frac{\omega_k}{c} = \sqrt{|\vec{k}|^2+\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2}
(9.1) Cuantización campo de Dirac \hat{\psi} = \sum_{r=1}^2 \int \frac{1}{\sqrt{2 E_p}}\left(\hat{c}_r(\vec{p}) u_r(\vec{p})e^{-ipx} + \hat{d}^\dag_r(\vec{p})v_r(\vec{p})e^{ipx} \right)\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}
(9.2) Cuantización Hamiltoniano de Dirac (QED 1.3) Lagrangiano de Dirac \hat{H} = \int \mathcal{H}\mathrm{d}^3x \mathcal{H}_{\mathrm{Dirac}} = \bar{\psi}\left(-i\gamma^k \partial_k + m\right) \psi \hat{H}_{\mathrm{Dirac}} = \sum_{r=1}^2 \int E_p \left(\hat{c}^\dag_r(\vec{p})\hat{c}_r(\vec{p})+\hat{d}^\dag_r(\vec{p})\hat{d}_r(\vec{p})\right)\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}
(9.3) Propiedades de los spinores de Dirac \begin{aligned} u_{r}^{\dag}(\vec{p})u_{s}(\vec{p}) &= v_{r}^{\dag}(\vec{p})v_{s}(\vec{p}) &&= 2E_p\delta_{rs} \\ \bar{u}_{r}(\vec{p})u_{s}(\vec{p}) &= -\bar{v}_{r}(\vec{p})v_{s}(\vec{p}) &&= 2m\delta_{rs} \\ \bar{u}_{r}(\vec{p})v_{s}(\vec{p}) &= \bar{v}_{r}(\vec{p})u_{s}(\vec{p}) &&= 0 \\ u_{r}^{\dag}(-\vec{p})v_{s}(\vec{p}) &= v_{r}^{\dag}(\vec{p})u_{s}(-\vec{p}) &&= 0 \end{aligned} \begin{aligned} \sum_{r=1}^{2}u_{r}(\vec{p})\bar{u}_{r}(\vec{p}) &= \gamma ^{\mu}p_{\mu}+m \\ \sum_{r=1}^{2}v_{r}(\vec{p})\bar{v}_{r}(\vec{p}) &= \gamma ^{\mu}p_{\mu}-m \end{aligned} Modificación de las fórmulas (TCC 43.5)
con la nueva normalización.
(9.4) Relaciones de anticonmutación \{c_r(\vec{p}), c^\dag_s(\vec{q})\} = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q})\delta_{rs} \{d_r(\vec{p}), d^\dag_s(\vec{q})\} = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q})\delta_{rs} \{c_r(\vec{p}), c_s(\vec{q})\} = \{d_r(\vec{p}), d_s(\vec{q})\} = 0 \{c_r(\vec{p}), d_s(\vec{q})\} = \{c_r(\vec{p}), d^\dag_s(\vec{q})\} = 0 \{\psi_a(t, \vec{x}), \psi^\dag_b(t, \vec{y})\} = \delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})\delta_{ab} \{\psi_a(t, \vec{x}), \psi_b(t, \vec{y})\} = 0
(9.5) Ejercicio \text{Demostrar que } \hat{H}_{\mathrm{Dirac}} \text{ se puede escribir como} \sum_{r=1}^2 \int E_p \left(\hat{c}^\dag_r(\vec{p})\hat{c}_r(\vec{p}) - \hat{d}_r(\vec{p})\hat{d}^\dag_r(\vec{p})\right)\frac{d^3 p}{(2\pi)^3} Soluciones enviadas Roger Balsach
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 Rodolfo Guidobono
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 Miguel Ángel Montañez
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Capítulo 10: Propagador fermiónico (parte 1)

(10.1) Operador creación $e^+$ y aniquilación $e^-$.
Espacio de posiciones \psi^+(x) = \sum_{r=1}^2 \int \frac{1}{\sqrt{2 E_p}}c_r(\vec{p}) u_r(\vec{p})e^{-ipx}\frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \psi^-(x) = \sum_{r=1}^2 \int \frac{1}{\sqrt{2 E_p}}d^\dag_r(\vec{p})v_r(\vec{p})e^{ipx}\frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \psi(x) = \psi^+(x) + \psi^-(x) \psi^+(x)\ket{0} = 0 \psi^-(x)\ket{0} = \sum_{r=1}^2 \int \frac{1}{\sqrt{2 E_p}}v_r(\vec{p})e^{ipx}\ket{e^+_r(\vec{p})}\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}
(10.2) Operador creación $e^-$ y aniquilación $e^+$.
Espacio de posiciones \bar{\psi}^+(x) = \sum_{r=1}^2 \int \frac{1}{\sqrt{2 E_p}}d_r(\vec{p})\bar{v}_r(\vec{p})e^{-ipx}\frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \bar{\psi}^-(x) = \sum_{r=1}^2 \int \frac{1}{\sqrt{2 E_p}}c^\dag_r(\vec{p}) \bar{u}_r(\vec{p})e^{ipx}\frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \bar{\psi}(x) = \bar{\psi}^+(x) + \bar{\psi}^-(x) \bar{\psi}^+(x)\ket{0} = 0 \bar{\psi}^-(x)\ket{0} = \sum_{r=1}^2 \int \frac{1}{\sqrt{2 E_p}}\bar{u}_r(\vec{p})e^{ipx}\ket{e^-_r(\vec{p})}\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}
(10.3) Función de correlación (a 2 puntos) \bra{0} \psi(x)\bar{\psi}(y) \ket{0} = \int \frac{\gamma_\mu p^\mu + m}{2E_p}e^{-ip(x-y)}\frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3}
(10.4) Ejercicio \text{Demostrar que } \sum_{r=1}^{2}u_{r}(\vec{p})\bar{u}_{r}(\vec{p}) = \gamma ^{\mu}p_{\mu}+m \text{ (ver fórmula \href{#capitulo-9}{[9.3]})} \text{a partir de las definiciones \href{#capitulo-8}{[8.4]}.} Soluciones enviadas Roger Balsach
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 Rodolfo Guidobono
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 10.pdf

Capítulo 11: Propagador fermiónico (parte 2)

(11.1) Función de correlación (a 2 puntos) II \bra{0} \psi_a(x)\bar{\psi}_b(y) \ket{0} = \int \frac{(\gamma_\mu p^\mu + m)_{ab}}{2E_p}e^{-ip(x-y)}\frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3} \bra{0} \bar{\psi}_b(y)\psi_a(x) \ket{0} = \int \frac{(\gamma_\mu p^\mu - m)_{ab}}{2E_p}e^{-ip(y-x)}\frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3}
(11.2) Introducing the $p_0$ integral (MT 43.1) Prescripción de Feynman \lim_{ \varepsilon \to 0^+ } \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ e^{-iaz} }{ z^2 - b^2 + i \varepsilon } dz = - \frac{ \pi i }{b} e^{ - i b |a| } \frac{e^{-iE_p|x^0-y^0|}}{2E_p} = i \int \frac{e^{-i p_0 |x^0-y^0|}}{p^2-m^2+i\varepsilon} \frac{\mathrm{d} p_0}{2\pi} Donde el límite $\varepsilon \to 0^+$ se presume implícito.
(11.3) Definición del time ordering para el campo de Dirac \begin{equation*} \mathrm{T}\{ \psi ( x)\bar{\psi }( y)\} \equiv \begin{cases} \psi ( x)\bar{\psi }( y) & x^{0} > y^{0}\\ -\bar{\psi }( y) \psi ( x) & y^{0} > x^{0} \end{cases} \end{equation*}
(11.4) Propagador fermiónico \braket{0 \vert \mathrm{T}\{\psi(x)\bar{\psi}(y)\} \vert 0}=\int\frac{\mathrm{d}^4p}{(2\pi)^4}\,\frac{i(\gamma^\mu p_\mu+m)}{p^2-m^2+i\varepsilon}e^{-ip(x-y)}

Capítulo 12: Propagador del fotón (parte 1)

(12.1) Cuantización del campo del fotón \underline{A}(x) = \sum_{r=0}^3 \int \frac{1}{\sqrt{2 E_p}}\left(a_r(\vec{p}) \underline{\varepsilon}_r(\vec{p})e^{-ipx} + a^\dag_r(\vec{p})\underline{\varepsilon}^*_r(\vec{p})e^{ipx} \right)\frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \underline{\varepsilon}_r = \Lambda\,\underline{e}_r
(TCC 65.2) Expansión en ondas planas \underline{\varepsilon}_r^* \cdot \underline{\varepsilon}_{s} = g_{\mu\nu}\underline{\varepsilon}^{*\mu}_r \underline{\varepsilon}^\nu_{s} = g_{rs} \sum_{r=0}^3 \xi_r \underline{\varepsilon}_r^\mu \underline{\varepsilon}_r^{* \nu} = g^{\mu\nu}
(12.2) Base de helicidad del fotón \underline{\varepsilon}_0 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\\ \end{pmatrix}\!\!,\; \underline{\varepsilon}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0\\ \cos\theta\cos\phi-i\sin\phi\\ \cos\theta\sin\phi+i\cos\phi\\ -\sin\theta\\ \end{pmatrix}\!\!,\; \underline{\varepsilon}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0\\ \cos\theta\cos\phi+i\sin\phi\\ \cos\theta\sin\phi-i\cos\phi\\ -\sin\theta \end{pmatrix}\!\!,\; \underline{\varepsilon}_3 = \begin{pmatrix} 0\\ \sin\theta\cos\phi\\ \sin\theta\sin\phi\\ \cos\theta\\ \end{pmatrix}
(12.3) Ejercicio \text{Demostrar que la base de helicidad 12.2 cumple la ecuación } \underline{\varepsilon}_r^* \cdot \underline{\varepsilon}_{s} = g_{rs}. Soluciones enviadas Roger Balsach
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 12.pdf
 Rodolfo Guidobono
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 12.pdf

Capítulo 13: Propagador del fotón (parte 2)

(13.1) Relaciones de conmutación \left[a_r(\vec{p}),\,a_s^\dagger(\vec{k})\right] = -(2\pi)^3g_{rs}\,\delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{k}) \left[A_\mu(t, \vec{x}),\Pi_\nu(t, \vec{y})\right] = -ig_{\mu\nu}\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})
(13.2) Función de correlación (a 2 puntos) \braket{0 \vert A^\mu(x)A^\nu(y) \vert 0} = \int\frac{-g^{\mu\nu}}{2E_p}e^{-ip(x-y)}\frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3}
(13.3) Propagador del fotón \braket{0 \vert \mathrm{T}\{A^\mu(x)A^\nu(y)\} \vert 0} = \int\frac{\mathrm{d}^4p}{(2\pi)^4}\,\frac{-g^{\mu\nu}}{p^2+i\varepsilon}e^{-ip(x-y)}