Repositorio de fórmulas para el Curso de Teoría Cuántica de Campos de Javier García

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Presentación

No hay fórmulas

Capítulo 1: Polinomio de Taylor

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 01 Introducción Taylor.pdf

(1.1) Polinomio de Taylor (1D) f \left( x \right) \simeq f \left( x_0 \right) + f' \left( x_0 \right) \left( x - x_0 \right) + \frac{1}{2!} f'' \left( x_0 \right) \left( x - x_0 \right)^2 + \frac{1}{3!} f''' \left( x_0 \right) \left( x - x_0 \right)^3 + ... x \simeq x_0

Capítulo 2: Diagonalización

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 02 Diagonalización matrices.pdf

(2.1) Diagonalizar una matriz A es
encontrar una base de vectores:
\left\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2 \right\} que cumplan: A \vec{v}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1 A \vec{v}_2 = \lambda_2 \vec{v}_2 siendo: \lambda_1, \lambda_2 \equiv \text{ valores propios } \vec{v}_1, \vec{v}_2 \equiv \text{ vectores propios }
(2.2) Teorema A \text{ simétrica } \Longrightarrow \text{ diagonalizable }
(2.3) Matriz ortogonal es aquella que cumple: M = \left( \boxed{ \begin{matrix} \ \\ \vec{v}_1 \\ \ \end{matrix} } \ \boxed{ \begin{matrix} \ \\ \vec{v}_2 \\ \ \end{matrix} } \right) \text{det } M = \pm 1 \vec{v}_1 \bot \vec{v}_2 \text{ ortogonales} lo cual implica que: M^{-1} = M^{T} \text{Si det } M = + 1 \Longrightarrow M \text{ rotación}
(2.4) Teorema: A \text{ simétrica } \Longleftrightarrow \text{ ortogonalmente diagonalizable } Además: A \text{ simétrica} \Longleftrightarrow \begin{matrix} D = M^T A M \\ A = M D M^T \end{matrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boxed{ \ \ \ \vec{v}_1 \ \ \ } \\ \ \\ \boxed{ \ \ \ \vec{v}_2 \ \ \ } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \\ \ \ \ A \ \ \ \\ \ \end{pmatrix} \left( \boxed{ \begin{matrix} \ \\ \vec{v}_1 \\ \ \end{matrix} } \ \boxed{ \begin{matrix} \ \\ \vec{v}_2 \\ \ \end{matrix} } \right)
(2.5) Ejercicio propuesto: Dado un campo escalar ϕ definido
en 3 puntos (ϕ1, ϕ2, ϕ3) y una magnitud C definida como:
C = -6 \phi_1^2 -6 \phi_2^2 -6 \phi_3^2 - \sqrt{2} \phi_1 \phi_2 - \sqrt{2} \phi_2 \phi_3 Se pide: \text{a) Hallar la matriz } A \text{ tal que:} \begin{pmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \phi_3 \end{pmatrix} = C \text{b) Diagonalizar } A \text{c) Demostrar que: } C = -5 \psi_1^2 -6 \psi_2^2 -y \psi_3^2 \text{En donde hemos definido:} \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \phi_3 \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \end{pmatrix} Soluciones enviadas: Carlos Lozano
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Carlos Lozano - Solución Ejercicio Capítulo 02.pdf
Alex Rossi
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Alex Rossi - Solución Ejercicio Capítulo 02.pdf
Roger Balsach
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 02.pdf
Antonio Leites
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A.MV
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Rojo_xd 7939
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rojo_xd 7939 - Solución Ejercicio Capítulo 02.pdf
Antonio Gros
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Antonio Gros - Solución Ejercicio Capítulo 02.pdf
Jose A Navarro
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Jose A Navarro - Solución Ejercicio Capítulo 02.pdf
Sebastián Jaroszewicz
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Rowy Do
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German Velandia
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/German Velandia - Solución Ejercicio Capítulo 02.pdf
Julio Taborda
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Julio Taborda - Solución Ejercicio Capítulo 02.pdf
Edgar Ricardo
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Rodolfo Guidobono
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Laura Incera
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Javier Almonte Espinal
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Capítulo 3: Jacobiano e Integrales Gaussianas

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 03 Jacobiano-Integrales Gaussianas.pdf

(3.1) Integral Gaussiana \int_{- \infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{ \pi } generalizando: \int_{- \infty}^\infty e^{-ax^2} dx = \sqrt{ \frac{\pi}{a} } de donde se deduce: \int_{- \infty}^\infty e^{-ax^2} x^2 dx = \frac{ \sqrt{\pi} }{ 2 a^{ \frac{3}{2} } }
(3.2) Ejercicio propuesto \text{Dada la definición de promedio:} \left< \square \right> \equiv \frac{ \int_{- \infty}^\infty dx \ \square \ e^{- \frac{a}{2} x^2} }{ \int_{- \infty}^\infty dx \ e^{- \frac{a}{2} x^2} } \text{Calcular:} \text{a) } \left< x \right> \text{b) } \left< x^2 \right> \text{c)* } \left< x^{2n} \right> Click para mostrar la solución al apartado c) \text{c)* } \left< x^{2n} \right> = \frac{1}{a^n} \left( 2n - 1 \right) \left( 2n - 3 \right) \left( 2n - 5 \right) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 Soluciones enviadas: Roger Balsach
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Herick Lopez
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Herick Lopez - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
A.MV
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/AMV - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Alex Rossi
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Alex Rossi - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Antonio Gros
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Antonio Gros - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Antonio Leites
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Antonio Leites - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Carlos Beltran
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Carlos Beltran - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Carlos Lozano
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Carlos Lozano - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Edgar R Perdomo
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Edgar R Perdomo - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
German Velandia
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/German Velandia - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Hugo Labella
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Hugo Labella - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Julio Taborda
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Julio Taborda - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Peñalba Dario
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Peñalba Dario - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Rodrigo Lopez
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Sebastian Jaroszewicz
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Sebastian Jaroszewicz - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Victor Oncins
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Victor Oncins - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Rodolfo Guidobono
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf
Laura Incera
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Javier Almonte Espinal
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Javier Almonte Espinal - Solución Ejercicio Capítulo 03.pdf

Capítulo 4: Funcional Generador

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 04 Funcional Generador.pdf

(4.1) Aplicando el siguiente cambio de variables: x \rightarrow \phi a \rightarrow m^2 2n \rightarrow p a las fórmulas del Capítulo 3 obtenemos: \int_{- \infty}^\infty d \phi \ e^{- \frac{m^2}{2} \phi^2 } = \frac{ \sqrt{ 2 \pi } }{m} \left< \phi^p \right>_0 = \frac{ \int_{- \infty}^\infty \phi^p \ e^{- \frac{m^2}{2} \phi^2} }{ \int_{- \infty}^\infty e^{- \frac{m^2}{2} \phi^2} } = \frac{1}{m^p} \left( p - 1 \right) \left( p - 3 \right) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1
(4.2) Funcional generador Z_0 \left[ J \right] \equiv \int_{- \infty}^\infty d \phi \ e^{ - \frac{m^2}{2} \phi^2 + J \phi } = \frac{ \sqrt{2\pi} }{m} \ \exp \left[ \frac{ J^2 }{ 2 m^2 } \right]
(4.3) Expresando la fórmula (4.1) en
función del funcional generador:
\left< \phi^p \right>_0 = \frac{ Z_0^{ \left( p \right) } \left[ 0 \right] }{ Z_0 \left[ 0 \right] }

Capítulo 5: Schwinger-Dyson y Diagramas de Feynman

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 05 Diagramas Feynman-Ec SD.pdf

(5.1) Acción sin interacciones S \left[ \phi \right] = \frac{m^2}{2} \phi^2 S' \left[ \phi \right] = m^2 \phi
(5.2) Propagador de la
acción sin interacciones
\left< \phi^2 \right> = \frac{1}{m^2}
(5.3) Ecuación de Schwinger-Dyson
para la acción sin interacciones
m^2 Z' \left[ J \right] = J Z \left[ J \right]
(5.4) Ejercicio propuesto \text{Comprobar que dada la acción:} S \left[ \phi \right] = \frac{m^2}{2} \phi^2 + \frac{\lambda}{24} \phi^4 \text{la ecuación de Schwinger-Dyson es:} m^2 Z' \left[ J \right] + \frac{\lambda}{6} Z''' \left[ J \right] = J Z \left[ J \right] Soluciones enviadas: Ver (5.7)
(5.5) Acción con interacciones S \left[ \phi \right] = \frac{m^2}{2} \phi^2 + \frac{\lambda}{24} \phi^4 \lambda = \text{ acoplamiento} Z \left[ J \right] = \int_{ - \infty}^\infty d \phi \ e^{ - \frac{m^2}{2} \phi^2 - \frac{\lambda}{24} \phi^4 + J \phi } \left< \phi^p \right> = \frac{ Z^{ \left( p \right) } \left[ 0 \right] }{ Z \left[ 0 \right] }
(5.6) Propagador de la acción
con interacciones a orden 1
\left< \phi^2 \right> \simeq \frac{1}{m^2} - \frac{\lambda}{2m^6}
(5.7) Ejercicio propuesto: \text{Calcular } \left< \phi^2 \right> \text{ a segundo orden} \text{a) Con los Diagramas de Feynman} \text{b) Cálculo directo} Soluciones enviadas: Roger Balsach
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 05.pdf
Antonio Gros
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Antonio Gros - Solución Ejercicio Capítulo 05.pdf
Peñalba Dario
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Peñalba Dario - Solución Ejercicio Capítulo 05.pdf
Alex Rossi
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Alex Rossi - Solución Ejercicio Capítulo 05.pdf
J.A Montero
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/JA Montero - Solución Ejercicio Capítulo 05.pdf
Julio Taborda
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Julio Taborda - Solución Ejercicio Capítulo 05.pdf
Laura Incera
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Laura Incera - Solución Ejercicio Capítulo 05.pdf
Rodolfo Guidobono
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 05.pdf
(5.8) Diagramas de Feynman

Capítulo 6: Campo discreto en una línea

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 06 Campo discreto en una línea.pdf

(6.1) Acción de un campo escalar discreto finito: S \left[ \phi \right] = \frac{m^2}{2} \phi^T A \ \phi = \frac{m^2}{2} \left( A_{11} \phi_1^2 + A_{12} \phi_1 \phi_2 + A_{21} \phi_2 \phi_1 + \cdots \right) A \text{ es una matriz simétrica }
(6.2) Aplicando las fórmulas del Capítulo 2 obtenemos: \phi = M \ \psi \phi \equiv \text{ vector en la base canónica} \psi \equiv \text{ vector en la base propia} Dado que: A \text{ simétrica } \implies A = M \ D \ M^T M \text{es una matriz ortogonal} D \text{ es una matriz diagonal con valores } \lambda_1, \cdots, \lambda_n
(6.3) Usando las fórmulas (6.2): \phi^T A \ \phi = \lambda_1 \psi_1^2 + \lambda_2 \psi_2^2 + \cdots + \lambda_n \psi_n^2
(6.4) Expresando la acción en la base propia: S \left[ \phi \right] = S \left[ M \psi \right] = \frac{m^2}{2} \left( \lambda_1 \psi_1^2 + \cdots + \lambda_n \psi_n^2 \right)
(6.5) Usando las fórmulas del Capítulo 3 obtenemos: \int \mathcal{D} \phi \ e^{-S \left[ \phi \right]} = \left( \frac{ \sqrt{2 \pi} }{m} \right) ^n \frac{1}{ \sqrt{ \det A } }

Capítulo 7: Cálculo del Valor Esperado 1

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 07 Cálculo valor esperado 1.pdf

(7.1) Valor esperado del campo medido en a
por el valor esperado del campo medido en b
\left< \phi_a \phi_b \right> \equiv \frac{ \int \mathcal{D} \phi \ e^{-S \left[ \phi \right]} \phi_a \phi_b }{ \int \mathcal{D} \phi \ e^{-S \left[ \phi \right]} }
(7.2) Valor esperado en función de M: \left< \phi_a \phi_b \right> = \frac{1}{m^2} \sum_{j=1}^{n} M_{aj} \ M_{bj} \frac{1}{ \lambda_j }
(7.3) Valor esperado en función de A: \left< \phi_a \phi_b \right> = \frac{1}{m^2} A_{ab}^{-1}

Capítulo 8: Cálculo del Valor Esperado 2

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 08 Cálculo valor esperado 2.pdf

(8.1) Para la acción: S \left[ \phi \right] = \frac{m^2}{2} \phi^T A \ \phi el funcional generador es: Z \left[ J \right] = \int \mathcal{D} \phi \ e^{ -S \left[ \phi \right] + \phi^T J } = \frac{ \left( \sqrt{ 2\pi } \right) ^n } { m^n \sqrt{ \det A } } \exp \left[ \frac{1}{2m^2} J^T A^{-1} J \right]
(8.2) Fórmula general para el valor esperado: \left< \phi_a \phi_b \right> = \left. \frac{1}{ Z \left[ 0 \right] } \frac{\partial}{ \partial J_a } \frac{\partial}{ \partial J_b } Z \left[ J \right] \right|_{J=0} Para la acción: S \left[ \phi \right] = \frac{m^2}{2} \phi^T A \ \phi el valor esperado es: \left< \phi_a \phi_b \right> = \left. \frac{\partial}{ \partial J_a } \frac{\partial}{ \partial J_b } \exp \left[ \frac{1}{2m^2} J^T A^{-1} J \right] \right|_{J=0}
(8.3) Ejercicio propuesto: \text{Calcular el valor esperado de } \phi_a \phi_b \phi_c \phi_d \left< \phi_a \phi_b \phi_c \phi_d \right> = \frac{1}{ Z \left[ 0 \right] } \left[ \frac{\partial}{ \partial J_a } \frac{\partial}{ \partial J_b } \frac{\partial}{ \partial J_c } \frac{\partial}{ \partial J_d } Z \left[ J \right] \right]_{J=0} = ? Solución en el Capítulo 9 Soluciones enviadas: Roger Balsach
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 08.pdf
A.MV
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/AMV - Solución Ejercicio Capítulo 08.pdf
Antonio Gros
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Antonio Gros - Solución Ejercicio Capítulo 08.pdf
J.A Montero
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/JA Montero - Solución Ejercicio Capítulo 08.pdf
Julio Taborda
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Julio Taborda - Solución Ejercicio Capítulo 08.pdf
Rodrigo Lopez
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodrigo Lopez - Solución Ejercicio Capítulo 08.jpg
Rodolfo Guidobono
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 08.pdf
Laura Incera
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Capítulo 9: Valor Esperado a 4 puntos

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 09 Cálculo valor esperado 3.pdf
Recapitulación (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 09 Recapitulación.pdf

(9.1) Valor esperado a 4 puntos:
(solución al Ejercicio 8.3)
\left< \phi_a \phi_b \phi_c \phi_d \right> = \frac{1}{m^4} \left( A^{-1}_{ab} A^{-1}_{cd} + A^{-1}_{bc} A^{-1}_{ad} + A^{-1}_{ac} A^{-1}_{bd} \right)
(9.2) Diagramas de Feynman En 4 puntos: \left< \phi_a \phi_b \phi_c \phi_d \right> = \left< \phi_a \phi_b \right> \left< \phi_c \phi_d \right> + \left< \phi_b \phi_c \right> \left< \phi_a \phi_d \right> + \left< \phi_a \phi_c \right> \left< \phi_b \phi_d \right>

Capítulo 10: Serie de Fourier 1

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 10 Serie de Fourier 1.pdf

(10.1) Coeficientes de un vector v
expresado en una base ortonormal:
\vec{v} = a_1 \vec{e}_1 + a_2 \vec{e}_2 + a_3 \vec{e}_3 a_n = \frac{ \vec{v} \cdot \vec{e}_n } { \vec{e}_n \cdot \vec{e}_n }
(10.2) Producto escalar de dos funciones: f(x) \cdot g(x) = \int_a^b f(x) \ g(x) \ dx
(10.3) Base de Fourier: \left\{ \cos(nx), \sin(nx) \right\} Al ser ortogonal cumple: \cos(n_1 x) \cdot \cos(n_2 x) = \begin{cases} 2 \pi \small{ \text{ (si } n_1 = n_2 = 0 \text{)} } \\ \pi \delta_{n_1, n_2} \end{cases} \sin(n_1 x) \cdot \sin(n_2 x) = \pi \delta_{n_1, n_2} \cos(n_1 x) \cdot \sin(n_2 x) = 0
(10.4) Función f expresada en la base de Fourier: f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx) a_n = \begin{cases} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \ dx & \small \text{para } n = 0 \normalsize \\ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \ dx & \small \text{para } n \ne 0 \normalsize \end{cases} b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \ dx
(10.5) Expresando (10.4) en potencias de e: f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \ e^{inx} c_n = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \ e^{-inx} \ dx Además: c_n^* = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \ e^{inx} \ dx c_n^* = c_{-n}
(10.6) Cambiando el rango (-π, π) por (-L/2, L/2): f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \Large{ c_n \ e^{ i \frac{2 \pi n}{L} x } }

Capítulo 11: Serie de Fourier 2

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 11 Serie de Fourier 2.pdf

(11.1) Serie de Fourier dependiente del tiempo: \phi(x,t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n(t) \ e^{ i k_n x } k_n \equiv \frac{2 \pi n}{L} c_n(t) = \begin{cases} \frac{1}{L} \int_{ -\frac{L}{2} }^{ \frac{L}{2} } \phi(x,t) \ dx & \small \text{para } n = 0 \normalsize \\ \frac{1}{L} \int_{ -\frac{L}{2} }^{ \frac{L}{2} } \phi(x,t) e^{ i k_n x} dx & \small \text{para } n \ne 0 \normalsize \end{cases} Donde se cumple: c_n^*(t) = c_{-n}(t) n = \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots
(11.2) Aplicándolo a la
ecuación de onda:
\frac{ \partial^2 \phi }{ \partial t^2 } - v^2 \ \frac{ \partial^2 \phi }{ \partial x^2 } = 0 Obtenemos: c_n(t) = A_n e^{ -i \omega_n t } + A_{-n}^* e^{ -i \omega_n t } \omega_n \equiv v \left| k_n \right | > 0 Donde se cumple: k_{-n} = - k_n \omega_{-n} = \omega_n

Capítulo 12: Transformada Discreta de Fourier (DFT)

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 12 Discretizacion Fourier DFT.pdf

Código MATLAB ejemplo 01
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Capítulo 12 - Ejemplo 01.m
Código MATLAB ejemplo 02
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Capítulo 12 - Ejemplo 02.m
Código MATLAB ejemplo 03
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Capítulo 12 - Ejemplo 03.m
Código MATLAB ejemplo 04
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Capítulo 12 - Ejemplo 04.m
Ejecutar código online (Octave Online)
https://octave-online.net/bucket~HfGcyCq2ngqmsJh88KqsMD

(12.1) Serie de Fourier compleja en función del tiempo \phi(x,t) = \frac{1}{2} \sum_{n = -\infty}^{\infty} \left[ c_n(t) e^{ i k_n x } + c_n^*(t) e^{ -i k_n x } \right] A_n = \frac{c_n(0)}{2} \phi(x,t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \left[ A_n \ e^{ -i \left( \omega_n t - k_n x \right) } + A_n^* \ e^{ i \left( \omega_n t - k_n x \right) } \right] \phi(x,t) \in \R
(12.2) DFT (Transformada Discreta de Fourier) x_m = m \frac{L}{N} m = -\frac{N}{2}, -\frac{N}{2} + 1, \cdots, \frac{N}{2} - 1 c_n(0) = \frac{1}{N} \sum_{m = -\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2} - 1} \phi_m(0) e^{-i k_n x_m} \int_{-\frac{L}{2}}^{-\frac{L}{2}} g(x) dx = \frac{L}{N} \sum_{m = -\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2} - 1} g_m \phi_m(t) = \sum_{n = -\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2} - 1} \left[ A_n \ e^{ -i \left( \omega_n t - k_n x_m \right) } + A_n^* \ e^{ i \left( \omega_n t - k_n x_m \right) } \right]

Capítulo 13: Transformada de Fourier, Delta de Dirac

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 13 T Fourier continuo-Delta Dirac.pdf

(13.1) Transformada de Fourier \hat{f}(k) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} } \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ e^{-ikx} dx f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} } \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(k) \ e^{ikx} dk
(13.2) Delta de Dirac \delta(x) \equiv \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx} dk
(13.3) Propiedades de la Delta de Dirac \int_{-\infty}^{\infty} h(x) \delta(x-a) dx = h(a) De forma general: \int_{-\infty}^{\infty} h(x) \delta(a+bx) dx = \frac{1}{|b|} h(x_0) x_0 \ \text{\small tal que } a + bx = 0 De forma aun más general: \int_{-\infty}^{\infty} h(x) \delta \left( g(x) \right) dx = \sum_{x_0} \frac{h(x_0)}{|g'(x_0)|} x_0 \ \text{\small tal que } g(x_0) = 0

Capítulo 14: Función de Green

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 14 Función de Green.pdf
Código MATLAB ejemplo 01
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Capítulo 14 - Ejemplo 01.m
Ejecutar código online (Octave Online)
https://octave-online.net/bucket~QuC8174wYmwTknYQVeN3ZD

(14.1) Dada la ecuación: \sum_{j=1}^{N} A_{ij} f_j = g_i Su solución es: \det A \neq 0 \Longrightarrow f_j = \sum_{i=1}^{N} \left( A^{-1} \right)_{ji} g_i
(14.2) Función de Green f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x,x') \ g(x') \ dx' Que, dado un operador A, A \left[ f(x, x') \right] = g(x) cumple: A \left[ G(x, x') \right] = \delta(x - x')
(14.3) Para la ecuación diferencial: f''(x) - f(x) = g(x) Se define: G \equiv A^{-1} = \left( \frac{d^2}{dx^2} - 1 \right)^{-1} Y se obtiene: G(x,x') = -\frac{1}{2} e^{- |x-x'| } ver ejemplo de e-|x-x'| en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E(-%7Cx-2%7C)
(14.4) Ejercicio propuesto \text{Comprobar que para:} f''(x) - f(x) = g(x) g(x) = x^2 \text{el valor de:} f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x,x') \ g(x') \ dx' f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} -\frac{1}{2} e^{- |x-x'| } \ (x')^2 \ dx' \text{es solución de la ecuación.} Soluciones enviadas: Roger Balsach
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 14.pdf
Antonio Gros
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Antonio Gros - Solución Ejercicio Capítulo 14.pdf
J.A Montero
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/JA Montero - Solución Ejercicio Capítulo 14.pdf
Rodolfo Guidobono
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 14.pdf
Laura Incera
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Laura Incera - Solución Ejercicio Capítulo 14.pdf

Capítulo 15: Función de Green y Contorno

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 15 F de Green con condiciones contorno.pdf
Código MATLAB ejemplo 01
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Capítulo 15 - Ejemplo 01.m
Código MATLAB ejemplo 02
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Capítulo 15 - Ejemplo 02.m
Ejecutar código online (Octave Online)
https://octave-online.net/bucket~9ST25F6g9GkmFRK8yozopM

(15.1) Función de Green para la
ecuación diferencial de la fórmula (14.3)
G(x,x') = \sum_n \frac{ u_n(x) u_n(x') }{ \lambda_n - 1 } \text{donde } u_n(x) \text{ son propias del operador } \frac{d^2}{dx^2} \text{y cumplen con las cond. de contorno del problema}

Capítulo 16: Integrales de Contorno

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 16 Integrales de contorno en plano complejo.pdf

(16.1) Integral de un contorno simple
y cerrado de una función holomorfa
\oint_C f(z) \ dz = 0
(16.2) \oint \frac{1}{z} dz = 2 \pi i
(16.3) Fórmula integral de Cauchy \oint_C \frac{f(z) }{ \left( z - z_0 \right)^{n+1} } dz = \frac{ 2 \pi i }{ n! } f^{(n)} (z_0) \text{siendo } f(z) \text{ holomorfa en C y en su interior,} C \text{ un camino cerrado recorrido en sentido anti-horario} \text{y } z_0 \text{ un punto interior de C}
(16.4) \begin{aligned} \oint_{C1} \frac{ e^{iza} }{ 1+z^2 } dz &= \pi e^{-a} && \small \text{para } a > 0 \\ \oint_{C2} \frac{ e^{iza} }{ 1+z^2 } dz &= \pi e^a && \small \text{para } a < 0 \end{aligned} i -i C1 C2

Capítulo 17: Parte Principal de una Integral

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 17 Integrales contorno-Parte Principal.pdf

(17.1) Parte Principal de una Integral \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \equiv \lim\limits_{ \varepsilon \to 0 } \left[ \int_{-\infty}^{x_0-\varepsilon} f(x) dx + \int_{x_0+\varepsilon}^{\infty} f(x) dx \right] \text{donde } f(x_0) = \nexists
(17.2) Ejercicio propuesto: \text{Calcular la parte principal de la integral:} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \sin{x} }{ x \left( x^2 + 1 \right) } dx Soluciones enviadas: Roger Balsach
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 17.pdf
Herick Lopez
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Herick Lopez - Solución Ejercicio Capítulo 17.pdf
J.A Montero
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/JA Montero - Solución Ejercicio Capítulo 17.pdf
Rodolfo Guidobono
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 17.pdf
Julio Taborda
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Julio Taborda - Solución Ejercicio Capítulo 17.pdf
Laura Incera
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Laura Incera - Solución Ejercicio Capítulo 17.pdf

Capítulo 18: Notación Relativista

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 18 Notación relativista.pdf
Repaso previo, curso de Relatividad General: Capítulo 18: Cómo construir el espaciotiempo
https://www.youtube.com/watch?v=Ms1vgQwDRgg&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25
Capítulo 19: Cómo construir el espaciotiempo 2
https://www.youtube.com/watch?v=ToFujBeddL4&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25
Repaso previo, curso de Grupos de Lie: Capítulo 15: El grupo de Poincaré (1/3)
https://www.youtube.com/watch?v=gsalXJaBKrM&list=PLAnA8FVrBl8DTFTMP8kXbDnRJHQKqfjaw
Capítulo 16: El grupo de Poincaré (2/3)
https://www.youtube.com/watch?v=z0gUrwiTD-g&list=PLAnA8FVrBl8DTFTMP8kXbDnRJHQKqfjaw
Capítulo 17: El grupo de Poincaré (3/3)
https://www.youtube.com/watch?v=6G9b1EFv1xg&list=PLAnA8FVrBl8DTFTMP8kXbDnRJHQKqfjaw

(18.1) Notación relativista x = (ct, \vec{x}) = (ct, x, y, z) = (x^0, x^1, x^2, x^3) \vec{x} = (x, y, z) = (x^1, x^2, x^3)
(18.2) En ausencia de gravedad: \text{Teoría invariante Poincaré} \Longleftrightarrow \begin{matrix} \text{Inv. Translaciones} \\ \text{Inv. Transf. Lorentz} \end{matrix}
(18.3) Transformación de Lorentz en 2D ct' = \gamma ct - \gamma \beta x x' = - \gamma \beta ct + \gamma x \gamma = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \beta^2 } } \beta = \frac{v}{c}
(18.4) Notación relativista
de la fórmula (18.3)
{x^0}' = \gamma x^0 - \gamma \beta x^1 {x^1}' = - \gamma \beta x^0 + \gamma x^1 En notación compacta: x' = \Lambda x x = (ct,x) = \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix} \Lambda = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \beta \\ -\gamma \beta & \gamma \end{pmatrix}
(18.5) Módulo de un vector de Lorentz A A = (A^0, A^1) = \begin{pmatrix}A^0 \\ A^1\end{pmatrix} A \cdot A = \begin{pmatrix}A^0 & A^1\end{pmatrix} \eta \begin{pmatrix}A^0 \\ A^1\end{pmatrix} \eta \equiv \text{\footnotesize métrica de un espacio-tiempo de Minkowski} \eta = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
(18.6) Ejercicio propuesto: Comprobar
que el módulo de un vector de Lorentz
se mantiene constante tras
un cambio de coordenadas:
A' \cdot A' = A \cdot A \eta = \Lambda^T \eta \Lambda
(18.7) Denominación de vectores
de Lorentz en función de su módulo
\text{a) de tipo tiempo (time-like)} A \cdot A > 0 \text{b) de tipo espacio (space-like)} A \cdot A < 0 \text{a) de tipo nulo o luz (null, light-like)} A \cdot A = 0 Nota: si se usa -η (como en R.G.),
las denominaciones cambian
(18.8) Relación entre componentes
contra-variantes y co-variantes
A_0 = A^0 A_1 = -A^1 A_2 = -A^2 A_3 = -A^3
(18.9) Notación compacta
de derivadas parciales
\frac{\partial}{\partial x^0} = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \equiv \partial_0 \frac{\partial}{\partial x^1} = \frac{\partial}{\partial x} \equiv \partial_1 \frac{\partial}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial y} \equiv \partial_2 \frac{\partial}{\partial x^3} = \frac{\partial}{\partial z} \equiv \partial_3
(18.10) \partial_0 = \partial^0 \partial_1 = -\partial^1 \partial_2 = -\partial^3 \partial_3 = -\partial^3
(18.11) \text{Una ley es invariante bajo una} \text{transformación de Lorentz si las ecuaciones} \text{tienen exactamente la misma forma}
(18.12) Ejercicio propuesto: \text{Demostrar que esta ley no es correcta} \text{(no es invariante Lorentz):} ( \partial_0 - \partial_1^2 ) \phi = 0 Soluciones enviadas: Laura Incera
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Laura Incera - Solución Ejercicio Capítulo 18.pdf

Capítulo 19: Funcionales

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 19 Funcionales y P Mínima Accíon.pdf

(19.1) Polinomio de Taylor (2D) f(x + \delta x, y + \delta y) \simeq f(x,y) + \frac{\partial f}{\partial x} \delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \delta y
(19.2) Polinomio de Taylor (4D) \phi(ct + \delta(ct), x + \delta x, y + \delta y, z + \delta z) \simeq \phi(ct, x, y, z) + \frac{\partial \phi}{\partial ct} \delta (ct) + \frac{\partial \phi}{\partial x} \delta x + \frac{\partial \phi}{\partial y} \delta y + \frac{\partial \phi}{\partial z} \delta z Usando la notación relativista (ver fórmula (18.1)) \phi(x + \delta x) \simeq \phi(x) + \partial_\mu \phi \ \delta x^\mu
(19.3) La variación y la derivada conmutan \delta \left( f` \right) = \left( \delta f \right)'
(19.4) Variación aproximada de una función de funciones \delta L = L \left( \phi + \delta \phi, \phi' + \delta \phi' \right) - L \left( \phi, \phi' \right) \simeq \frac{ \partial L }{ \partial \phi } \delta \phi + \frac{ \partial L }{ \partial \phi' } \delta \phi'
Vídeo de referencia ¿Qué es un FUNCIONAL y por qué
son importantes en FÍSICA TEÓRICA?
https://www.youtube.com/watch?v=R-_LrxzYQx4
(19.5) Funcional S \left[ f(x) \right] = \int_a^b L \left( f(x), f'(x) \right) dx
(19.6) La variación y la integral conmutan \delta \int = \int \delta
(19.7) Variación de un funcional \delta S = \int_a^b \left[ \frac{ \partial L }{ \partial f } - \frac{d}{dx} \left( \frac{ \partial L }{ \partial f' } \right) \right] df \ dx
(19.8) Notación relativista d^4x \equiv cdt \ dx \ dy \ dz
(19.9) Funcional de un campo S \left[ \phi(x) \right] = \int_a^b L \left( \phi(x), \partial_0 \phi, \partial_1 \phi, \partial_2 \phi, \partial_3 \phi \right) d^4 x
(19.10) Variación aproximada de L \left( \phi(x), \partial_0 \phi, \partial_1 \phi, \partial_2 \phi, \partial_3 \phi \right) \delta L \simeq \frac{ \partial L }{ \partial \phi } \delta \phi + \frac{ \partial L }{ \partial (\partial_\mu \phi) } \delta (\partial_\mu \phi)
(19.11) Variación de un funcional de un campo \delta S = \int_a^b \left[ \frac{ \partial L }{ \partial \phi } - \partial_\mu \left( \frac{ \partial L }{ \partial (\partial_\mu \phi) } \right) \right] \delta \phi \ d^4 x
(19.12) Derivada de un funcional \frac{ \delta S }{ \delta \phi } \equiv \frac{ \partial L }{ \partial \phi } - \partial_\mu \left( \frac{ \partial L }{ \partial (\partial_\mu \phi) } \right)
(19.13) Principio de mínima acción \text{Las teorías plausibles deben cumplir:} \frac{ \delta S }{ \delta \phi } = 0
(19.14) Dada la acción: S = \int d^4 x \ \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \ \partial^\mu \phi Aplicando el principio de mínima acción (19.13),
obtenemos la ecuación de onda en 4D:
\partial^2_0 \phi - \partial^2_1 \phi - \partial^2_2 \phi - \partial^2_3 \phi = 0 Que es invariante Lorentz debido a que L lo es: L = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \ \partial^\mu \phi
(19.15) Aplicando la fórmula (18.3),
podemos escribir la ecuación de
onda con notación relativista:
\partial_\mu \ \partial^\mu \ \phi = 0
(19.16) Ejercicio propuesto: \text{Dada la acción:} S = \frac{1}{2} \int d^4 x \left[ \partial_\mu \phi \ \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2 \right] \text{\footnotesize a) Demostrar que } L = \frac{1}{2} \left[ \partial_\mu \phi \ \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2 \right] \text{es invariante bajo la transformación:} \begin{aligned} {x^0}' &= \gamma x^0 - \gamma \beta x^1 \\ {x^1}' &= -\gamma \beta x^0 + \gamma x^1 \\ {x^2}' &= x^2 \\ {x^3}' &= x^3 \end{aligned} \text{\footnotesize b) Calcular } \frac{ \delta S }{ \delta \phi } Soluciones enviadas: Roger Balsach
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 19.pdf
Herick Lopez
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Herick Lopez - Solución Ejercicio Capítulo 19.pdf
Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - Solución Ejercicio Capítulo 19.pdf
Alex Rossi
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Alex Rossi - Solución Ejercicio Capítulo 19.pdf
Rodolfo Guidobono
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 19.pdf
Julio Taborda
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Julio Taborda - Solución Ejercicio Capítulo 19.pdf
J.A. Montero
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/JA Montero - Solución Ejercicio Capítulo 19.pdf
Laura Incera
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Laura Incera - Solución Ejercicio Capítulo 19.pdf

Capítulo 20: Fin bloque 1

No hay fórmulas

Capítulo 21: Presentación del Curso de Mecánica Teórica

Lista de vídeos del Curso de Mecánica Teórica
https://www.youtube.com/playlist?list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG

Fórmulas del Curso de Mecánica Teórica
https://crul.github.io/CursoMecanicaTeoricaJavierGarcia

Capítulo 22: Cómo cuantizar una teoría

(22.1) Ecuación de Schrödinger i \hbar \frac{ \partial \psi }{ \partial t } = - \frac{ \hbar^2 }{ 2m } \nabla^2 \psi + V \psi
(22.2) Ecuación de Schrödinger
(independiente del tiempo)
- \frac{ \hbar^2 }{ 2m } \nabla^2 \psi + V \psi = E \psi
(22.3) Matriz hermítica A^\dagger \equiv \left( A^* \right)^T = A
(22.4) Teorema \text{Una matriz hermítica siempre es diagonalizable,} \text{con valores propios reales y vectores propios ortogonales}
(22.5) Conmutador [A,B] \equiv AB - BA
(22.6) Cuantización canónica \text{\footnotesize El corchete de Poisson } \{ A, B \} = C \ \text{\footnotesize pasa a ser } [A,B] = i \hbar C \text{El conmutador de dos variables canónicas conjugadas es:} [q,p] = i \hbar \text{\footnotesize El momento lineal } p \ \text{\footnotesize es un operador diferencial} \vec{p} = - i \hbar \vec{\nabla} = \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x}, - i \hbar \frac{\partial}{\partial y}, - i \hbar \frac{\partial}{\partial z} \right)

Capítulo 23: Cómo cuantizar una teoría - 2ª parte

(23.1) \text{\footnotesize Si } A \text{ \footnotesize es hermítico (autoadjunto) } A^\dagger = A \text{ \footnotesize entonces:} a) \left( A \ket{\psi} \right)^\dagger = \bra{\psi } A b) \bra{\phi } A \ket{\psi}^* = \bra{\psi } A \ket{\phi}
(23.2) Producto escalar Dimensión N \braket{a \vert b} = \sum_{j=1}^N a_j^* b_j Dimensión infinita \braket{\phi \vert \psi } = \int_{-\infty}^{\infty} dx \ \phi^*(x) \ \psi(x)
(23.3) Elementos de matriz de operadores Dimensión N \bra{a} A \ket{b} = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N a_i^* A_{ij} b_j Dimensión infinita \bra{\phi} A \ket{\psi} = \int_{-\infty}^{\infty} dx \ \phi^*(x) \ A \ \psi(x)
(23.4) Normalización \int_{-\infty}^{\infty} dx \ | \psi (x) |^2 = 1
(23.5) \text{\footnotesize Espacio de Hilbert } L^2 (-\infty, \infty) \text{Es un espacio vectorial de funciones de cuadrado integrable:} \int_{-\infty}^{\infty} dx \ | \psi (x) |^2 < \infty \text{dotado del producto escalar} \braket{\phi \vert \psi } = \int_{-\infty}^{\infty} dx \ \phi^*(x) \ \psi(x)
(23.6) Teorema \text{Si un operador es hermítico (autoadjunto)} \text{entonces sus valores propios son reales} \text{y sus vectores propios son ortogonales.} \text{Además forma una base completa} \text{del espacio de Hilbert.}
(23.7) Ecuación de continuidad (densidad de probabilidad) \frac{ \partial | \psi |^2}{ \partial t} + \vec{\nabla} \cdot \vec{J} = 0 \vec{J} = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \vec{\nabla} \psi - \psi \vec{\nabla} \psi^* \right)
(23.8) Ecuación de valores propios del operador x x \ \delta (x - x_0) = x_0 \ \delta (x - x_0)
(23.9) \text{\footnotesize Representación de posiciones = base de vectores de posición: } \{ \ket{x} \} Productos escalares interesantes: \braket{x \vert y } = \delta (x-y) \braket{x \vert \psi } = \psi(x) \braket{\psi \vert x } = \psi^* (x)

Capítulo 24: Cómo cuantizar una teoría - 3ª parte

(24.1) Resolución de la identidad En dimensión finita N I = \sum_{j=1}^N \ket{a_j} \bra{a_j} \text{\footnotesize (} \ket{a_j} \text{\footnotesize es una base ortonormal del espacio de Hilbert)} En dimensión infinita \begin{matrix} & I = \int_{-\infty}^{\infty} dx \ \ket{x} \bra{x} & \text{\footnotesize (} \ket{x} \text{\footnotesize base de posiciones)} \\ & I = \int_{-\infty}^{\infty} dp \ \ket{p} \bra{p} & \text{\footnotesize (} \ket{p} \text{\footnotesize base de momentos)} \end{matrix}
(24.2) Vectores propios de x̂ y p̂ \widehat{x} \ket{x} = x \ket{x} \widehat{p} \ket{p} = p \ket{p}
(24.3) Producto escalar \braket{x \vert p } = \frac{1}{ \sqrt{ 2 \pi \hbar } } e^{ i \frac{px}{\hbar} } \braket{p \vert x } = \braket{x \vert p }^* = \frac{1}{ \sqrt{ 2 \pi \hbar } } e^{ -i \frac{px}{\hbar} }
(24.4) Transformada de Fourier (cambio de base) \psi(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dp}{ \sqrt{ 2 \pi \hbar } } \widehat{\psi}(p) e^{ i \frac{px}{\hbar} } \widehat{\psi}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dp}{ \sqrt{ 2 \pi \hbar } } \psi(p) e^{ -i \frac{px}{\hbar} }

Capítulo 25: Cómo cuantizar una teoría - 4ª parte

(25.1) Momento angular (clásico) \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}
(25.2) Movimiento circular de radio R L_z = |\vec{L}| = m R^2 \omega
(25.3) Momento angular cuántico
(movimiento en el plano xy)
L_z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial \theta} Es autoadjunto si las
funciones son periódicas
L_z^\dagger = L_z
(25.4) Funcionres propias de Lz \phi_n (\theta) = \frac{1}{ \sqrt{ 2 \pi R } } e^{ i n \theta }
(25.5) Espacio de Hilbert L^2 [ 0, 2 \pi ]
(25.6) Producto escalar en
el Espacio de Hilbert (25.5)
\braket{f \vert g } = \int_0^{2\pi} f(\theta)^* \ g(\theta) \ R \ d\theta
(25.7) Notación \braket{\theta \vert \phi_n } = \braket{\theta \vert n } = \frac{1}{ \sqrt{ 2 \pi R } } e^{ i n \theta } L_z \ket{n} = n \hbar \ket{n} \bra{\theta} L_z \ket{\psi} = - i \hbar \frac{ \partial \psi }{ \partial \theta }
(25.8) Ecuación de Schrödinger (notación de Dirac) -i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi(t)} = H \ket{\psi(t)} Solución general \ket{\psi(t)} = \sum_n e^{ \frac{it}{\hbar} E_n } a_n \ket{\phi_n} \text{\footnotesize Los vectores } \ket{\phi_n} \text{\footnotesize son propios de H} H \ket{\phi_n} = E_n \ket{\phi_n}
(25.9) Definición de la exponencial de un operador e^{\widehat{A}} = 1 + \widehat{A} + \frac{1}{2!} \widehat{A}^2 + \frac{1}{3!} \widehat{A}^3 + \cdots
(25.10) Si H ≠ H(t) la ecuación
de Schrödinger equivale a:
\ket{\psi(t)} = U(t) \ket{\psi(0)}
(25.11) Operador de
la evolución temporal
U(t) = e^{ - \frac{it}{\hbar} H }

Capítulo 26: Postulado medida & Principio de Heisenberg

(26.1) Postulado de la medida \begin{aligned} & A^\dagger = A && \text{\footnotesize (observable)} \\ & A \ket{a_n} = a_n \ket{a_n} && \text{\footnotesize (base propia de } A \text{\footnotesize )} \end{aligned}
(26.2) Probabilidad de obtener an
al hacer una medida de A
P_n = | \braket{a_n \vert \psi } |^2 El estado colapsa a: \ket{\psi} = \ket{a_n}
(26.3) Desviación estándar de A en un estado |𝜓⟩ \sigma_A = \sqrt{ \bra{\psi} A^2 \ket{\psi} - \bra{\psi} A \ket{\psi}^2 }
(26.4) Principio de identerminación de Heisenberg \sigma_A \sigma_B \geqslant \left| \frac{1}{2i} \bra{\psi} [A,B] \ket{\psi} \right|
(26.5) Ejercicios propuestos \begin{aligned} &&1) \hspace2ex &\text{\footnotesize Calcular } \sigma_p \text{ \footnotesize para la función de onda:} \\ && &\hspace3ex \psi = \sqrt[4]{ \frac{2}{\pi} } e^{-x^2} \\ &&2) \hspace2ex &\text{\footnotesize Dada una masa } m \text{ \footnotesize moviéndose, sin fricción} \\ && &\text{\footnotesize ni gravedad, en un aro de radio } r \text{\footnotesize:} \\ &&2.a) \hspace2ex &\text{\footnotesize ¿Es } \hat{\theta} \text{ \footnotesize hermítico?} \\ &&2.b) \hspace2ex &\text{\footnotesize Calcular } \sigma_{\hat{L}_z} \text{ \footnotesize y } \sigma_{\hat{\theta}} \\ &&2.c) \hspace2ex &\text{\footnotesize ¿Se cumple el principio de Heisenberg?} \\ && &\hspace3ex \sigma_{\hat{L}_z} \sigma_{\hat{\theta}} \geqslant \left| \frac{1}{2i} \bra{\psi} \left[ \hat{L}_z, \hat{\theta} \right] \ket{\psi} \right| \\ &&2.d) \hspace2ex &\text{\footnotesize Si no se cumple el principio de Heisenberg,} \\ && &\text{\footnotesize ¿qué crees que está pasando?} \end{aligned} Soluciones enviadas: Roger Balsach
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Capítulo 27: Ladder Operators (operadores escalera)

(27.1) Operadores Escalera D y D+ [A,D] = bD [A,D^\dagger] = -bD^\dagger b = \text{\footnotesize constante real positiva} A^\dagger = A
(27.2) Acción sobre los estados |an D \ket{a_n} = \alpha_n \ket{a_n + b} D^\dagger \ket{a_n} = \beta_n \ket{a_n - b} \alpha_n, \beta_n \in \Complex

Capítulo 28: Oscilador Cuántico

(28.1) Hamiltoniano oscilador armónico H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2} q^2
(28.2) Operadores escalera
oscilador armónico a y a+
a = \sqrt{ \frac{ m \omega }{ 2 \hbar } } \left( q + i \frac{p}{ m \omega } \right) a^\dagger = \sqrt{ \frac{ m \omega }{ 2 \hbar } } \left( q - i \frac{p}{ m \omega } \right) q = \sqrt{ \frac{ \hbar }{ 2 m \omega } } \left( a + a^\dagger \right) p = -i \sqrt{ \frac{ \hbar m \omega }{2} } \left( a - a^\dagger \right)
(28.3) Conmutadores [a,a] = [a^\dagger,a^\dagger] = 0 [a,a^\dagger] = 1 [H,a^\dagger] = \hbar \omega a^\dagger [H,a] = - \hbar \omega a N = a^\dagger a \left[ N, \left( a^\dagger \right)^k \right] = k \left( a^\dagger \right)^k \left[ N, a^k \right] = - k a^k k = 1, 2, 3, ...
(28.4) Hamiltoniano y valores propios H = \hbar \omega \left( a^\dagger a + \frac{1}{2} \right) E = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) > 0 H \ket{n} = E_n \ket{n} \ket{n} = \frac{1}{ \sqrt{ n! } } \left( a^\dagger \right)^n \ket{0} \braket{n_1 \vert n_2 } = \delta_{n_1, n_2}
(28.5) Acción sobre los estados |n⟩ a^\dagger \ket{n} = \sqrt{ n + 1 } \ket{n + 1} a \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n - 1}
(28.6) Ejercicio propuesto \begin{aligned} &&a) &\text{ \footnotesize Demostrar:} \\ &&& \begin{cases} a \psi(x) = c \\ c = 0 \end{cases} \Longrightarrow \psi(x) \in L^2(\Reals) \\ &&b) &\text{ \footnotesize Demostrar:} \\ &&& \psi_0 (x) = \sqrt[4]{ \frac{ m \omega }{ \pi \hbar } } e^{ - \frac{ m \omega x^2 }{ 2 \hbar }} \end{aligned} Soluciones enviadas: Roger Balsach
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Rodolfo Guidobono
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Capítulo 29: Estados Coherentes

(29.1) Estado coherente |α⟩ a \ket{\alpha} = \alpha \ket{\alpha} \alpha \in \Complex \ket{\alpha} = e^{ - \frac{| \alpha |^2}{2} } \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ \alpha^n }{ \sqrt{n!} } \ket{n} \braket{\alpha \vert \alpha } = 1
(29.2) Probabilidad de medir energía En p_n = | \braket{n \vert \alpha } |^2 = e^{-|\alpha|^2} \frac{|\alpha|^{2n}}{n!}
(29.3) Valores esperados \bra{\alpha} N \ket{\alpha} = |\alpha|^2 \bra{\alpha} N^2 \ket{\alpha} = |\alpha|^2 + |\alpha|^4 Desviación estándar \sigma_N = | \alpha |
(29.4) Saturación Principio de Heisenberg \bra{\alpha} x \ket{\alpha} = \sqrt{ \frac{\hbar}{2m\omega} } \left( \alpha + \alpha^* \right) \bra{\alpha} x^2 \ket{\alpha} = \frac{\hbar}{2m\omega} \left( \alpha^2 + \alpha^{*2} + 2 |\alpha|^2 + 1 \right) \sigma_x = \sqrt{ \frac{\hbar}{2m\omega} } \bra{\alpha} p \ket{\alpha} = \frac{1}{i} \sqrt{ \frac{m\hbar\omega}{2} } \left( \alpha - \alpha^* \right) \bra{\alpha} p^2 \ket{\alpha} = \frac{m\hbar\omega}{2} \left( -\alpha^2 - \alpha^{*2} + 2 |\alpha|^2 + 1 \right) \sigma_p = \sqrt{ \frac{m\hbar\omega}{2} } \sigma_x \sigma_p = \frac{\hbar}{2}
(29.5) Ejercicio propuesto \text{Comprobar que:} \sigma_p = \sqrt{ \frac{m\hbar\omega}{2} } Soluciones enviadas: Roger Balsach
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Antonio Gros
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Capítulo 30: Operador Desplazamiento

(30.1) Operador desplazamiento D \begin{aligned} & \text{\footnotesize - Es unitario } D^\dagger = D^{-1} \\ & \text{\footnotesize - } D \widehat{x} D^\dagger = \widehat{x} - x_0 \\ & \text{\footnotesize - } D \widehat{p} D^\dagger = \widehat{p} - p_0 \\ & \text{\footnotesize - } D a D^\dagger = a - \alpha \\ & \text{\footnotesize - } D a^\dagger D^\dagger = a^\dagger - \alpha^* \\ & \alpha = \sqrt{ \frac{ m \omega }{ 2 \hbar } } \left( x_0 + i \frac{1}{ m \omega } p_0 \right) \\ & \text{\footnotesize - } [a, D] = \alpha D \\ & \text{\footnotesize - } [a^\dagger, D] = - \alpha^* D^\dagger \\ & \text{\footnotesize - } \ket{\alpha} = D \ket{0} \end{aligned}
(31.2) Definición explícita de D D (\alpha) = e^{ \alpha a^\dagger - \alpha^* a }

Capítulo 31: Squeezing Operator

(31.1) Operador Squeeze S(b) con b ∈ ℝ S(b)^\dagger = S(b)^{-1} = S(-b) S(b) \widehat{x} S(b)^\dagger = e^b \widehat{x} S(b) \widehat{p} S(b)^\dagger = e^{-b} \widehat{x} S(b) = e^{ \frac{ib}{ 2 \hbar } ( \widehat{p} \widehat{x} + \widehat{x} \widehat{p} ) } S(b) = e^{ \frac{b}{2} \left( a^2 - \left( a^\dagger \right)^2 \right) }
(31.2) Ejercicio propuesto: \text{\footnotesize Calcular el operador } \widehat{S}(b) \text{ \footnotesize con } b = r e^{ i \theta } Soluciones enviadas: Rodolfo Guidobono
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Ejercicio Capítulo 31 Resuelto en Patreon

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Capítulo 32: Squeezing Operator - Parte 2

(32.1) Propiedad e^A B e^{-A} = B + [A,B] + \frac{1}{2!} [A, [A,B]] + \frac{1}{3!} [A, [A, [A,B]]] + \cdots
(32.1) Operador Squeeze S(b) con b ∈ ℂ S(b) = \exp \frac{1}{2} \left( ba^2 - b^* \left( a^\dagger \right)^2 \right) S(b) a S(b)^\dagger = a \cosh r + a^\dagger e^{-i\theta} \sinh r S(b) a^\dagger S(b)^\dagger = a^\dagger \cosh r + a \ e^{i\theta} \sinh r S(b) \widehat{x} S(b)^\dagger = ( \cosh r + \sinh r \cos \theta ) \widehat{x} - \sinh r \sin \theta \frac{ \widehat{p} }{ m \omega } S(b) \widehat{p} S(b)^\dagger = - m \omega \sinh r \sin \theta \widehat{x} + ( \cosh r + \sinh r \cos \theta ) \widehat{p}

Capítulo 33: Squeezed Vacuum

(33.1) Squeezed Vacuum \ket{b} \equiv S(b) \ket{0}
(33.2) Función de Wigner asociada a |0⟩ W_{\text{vacío}} (x,p) = \frac{1}{ \pi \hbar } \exp \left( \frac{ -m \omega }{ \hbar } \left( x^2 + \left( \frac{p}{ m \omega } \right)^2 \right) \right)
(33.3) Desciación estándar de
un operador A en el estado |ψ⟩
\sigma_A \equiv \sqrt{ \bra{\psi}A^2\ket{\psi} - \bra{\psi}A\ket{\psi}^2 }
(33.4) Desviaciones estándar
de x y p en el estado |0⟩
\sigma_x = \sqrt{ \frac{ \hbar }{ 2 m \omega } } \sigma_p = \sqrt{ \frac{ m \omega \hbar }{2} }
(33.5) Desviaciones estándar
de x y p en el squeezed vacuum |b⟩
\widetilde{\sigma}_x = \sigma_x \sqrt{ \cosh 2r - \cos \theta \sinh 2r } \widetilde{\sigma}_p = \sigma_p \sqrt{ \cosh 2r + \cos \theta \sinh 2r } b = r e^{ i \theta }
(33.6) Ejercicio propuesto: \text{\footnotesize Calcular } \sigma_p \text{ \footnotesize en el squeezed vacuum } Soluciones enviadas: Rodolfo Guidobono
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Capítulo 34: Squeezed Vacuum 2

(34.1) Ejercicio propuesto \text{Comprobar que:} \braket{y_1^2} = e^{-2r} \sin^2 \alpha \ \braket{x^2} + e^{-2r} \cos^2 \alpha \ \braket{y^2} Soluciones enviadas: Rodolfo Guidobono
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Capítulo 35: Spinor 1

(35.1) Matriz de rotación 2D R = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} R^{-1} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}
(35.2) Rotación
de un punto 2D
\overrightarrow{r}' = R \overrightarrow{r}
(35.3) Campo vectorial euclídeo 2D \overrightarrow{\phi} \left( \overrightarrow{r} \right) = \begin{pmatrix} \phi^1 \left( \overrightarrow{r} \right) \\ \phi^2 \left( \overrightarrow{r} \right) \end{pmatrix}
(35.4) Rotación de un campo vectorial euclídeo 2D \overrightarrow{\phi}' \left( \overrightarrow{r}' \right) = R \overrightarrow{\phi} \left( R^{-1} \overrightarrow{r}' \right) Explícitamente: \begin{pmatrix} \phi^{1'} \left( \overrightarrow{r}' \right) \\ \phi^{2'} \left( \overrightarrow{r}' \right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi^1 \left( R^{-1} \overrightarrow{r}' \right) \\ \phi^2 \left( R^{-1} \overrightarrow{r}' \right) \end{pmatrix}
(35.5) Transformación
de Lorentz
x^{\mu \prime} = {\Lambda^{\mu \prime}}_\nu x^\nu
(35.6) Campo vectorial
de Lorentz
\phi^\alpha \left( x^\mu \right)
(35.7) Transformación de Lorentz
en un cmapo de Lorentz
\phi^{\alpha \prime} \left( x' \right) = {\Lambda^{\alpha \prime}}_\nu \phi^\nu \left( \Lambda^{-1} x' \right)
(35.8) 2-Spinor \psi = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}
(35.9) Spinor transformado \psi' = M[\Lambda] \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} Donde las matrices M[Λ] cumplen: M[ \Lambda_2 \Lambda_1 ] = M[\Lambda_2] M[\Lambda_1]
(35.10) Toy model m_0 \ m_1 \text{ \footnotesize matrices reales cuadradas tales que:} m_0^2 = 1 \hspace3ex m_1^2 = -1 m_0 m_1 = -m_1 m_0 m_0^T = m_0 \hspace3ex m_1^T = -m_1 m_\alpha m_\beta + m_\beta m_\alpha = 2 g_{\alpha \beta}
(35.11) Transformación M M = e^{ \frac{\theta}{2} m_0 m_1 } = \cosh \frac{\theta}{2} + m_0 m_1 \sinh \frac{\theta}{2} M^{-1} = e^{ -\frac{\theta}{2} m_0 m_1 } = \cosh \frac{\theta}{2} - m_0 m_1 \sinh \frac{\theta}{2} M^T = M
(35.12) Spinor
transformado
\psi' = M \psi
(35.13) Teorema M m_0 M^{-1} = \cosh \theta \ m_0 - \sinh \theta \ m_1 M m_1 M^{-1} = - \sinh \theta \ m_0 + \cosh \theta \ m_1
(35.14) "Métrica" en el
espacio interno de m0
M^T m_0 M = m_0
(35.15) Spinor dual \overline{\psi} = \psi^T m_0
(35.16) Spinor dual transformado \overline{\psi}' = \left( \psi' \right)^T m_0
(35.17) Invariante \overline{\psi} \psi = \overline{\psi}' \psi'
(35.18) Teorema M \left( m_0 p^0 + m_1 p^1 \right) M^{-1} = m_0 p^{0 \prime} + m_1 p^{1 \prime}
(35.19) Invariante \overline{\psi} \left( m_0 p^0 + m_1 p^1 \right) \psi = \overline{\psi}' \left( m_0 p^{0 \prime} + m_1 p^{1 \prime} \right) \psi'
(35.20) Prototipo densidad lagrangiana
de un campo spinoral
\mathcal{L} = i \overline{\psi} \left( m_0 \partial^0 + m_1 \partial^1 \right) \psi - m \overline{\psi} \psi
(35.21) Ejercicio propuesto \text{Demostrar que:} e^{ \frac{\theta}{2} m_0 m_1 } m_1 e^{ -\frac{\theta}{2} m_0 m_1 } = - \sinh \theta \ m_0 + \cosh \theta \ m_1 Soluciones enviadas: Roger Balsach
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Rodolfo Guidobono
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Capítulo 36: Spinor 2

Ver capítulo 35

Capítulo 37: ¿Por qué un espacio interno para un fermión?

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Capítulo 38: (1/2,0) + (0,1/2) Grupo de LORENTZ

(38.1) \left( a \gamma^0 + b \gamma^1 + c \gamma^2 + d \gamma^3 \right)^2 = a^2 - \left( b^2 + c^2 + d^2 \right)
(38.2) \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 g^{ \mu \nu }
(38.3) g^{ \mu \nu } = \text{diag} ( 1, -1, -1, -1 )
(38.4) p_\mu = \left( p_0, p_1, p_2, p_3 \right)
(38.5) \left( p_0 \gamma^0 + p_1 \gamma^1 + p_2 \gamma^2 + p_3 \gamma^3 \right)^2 = p_0^2 - \left( p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 \right) = (mc)^2
(38.6) p_0 = \frac{E}{c}
(38.7) \left( p_0 \gamma^0 + p_1 \gamma^1 + p_2 \gamma^2 + p_3 \gamma^3 - mc \right) \left( p_0 \gamma^0 + p_1 \gamma^1 + p_2 \gamma^2 + p_3 \gamma^3 + mc \right) = 0
(38.8) \begin{aligned} p^0 &= mc \cosh \eta \\ p^1 &= mc \sinh \eta \sin \theta \cos \phi \\ p^2 &= mc \sinh \eta \sin \theta \sin \phi \\ p^3 &= mc \sinh \eta \cos \theta \end{aligned}
(38.9) \overrightarrow{p} = \gamma m \overrightarrow{v} \gamma = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \beta^2 } } \beta = \frac{v}{c}
(38.10) \sinh \eta = \gamma \beta \cosh \eta = \gamma
(38.11) \Lambda_{\text{CM} \rightarrow \text{LAB}} = R_z ( \phi ) R_y ( \theta ) \Lambda_z ( \eta )^{-1}

Capítulo 39: Álgebra de Lie del Grupo de Lorentz

(39.1) \begin{aligned} \left[ K^a, K^b \right] &= -{\varepsilon^{ab}}_c \ J^c \\ \left[ J^a, J^b \right] &= {\varepsilon^{ab}}_c \ J^c \\ \left[ J^a, K^b \right] &= {\varepsilon^{ab}}_c \ K^c \end{aligned}
(39.2) \begin{aligned} M^{01} &= -M^{10} \equiv K^1 \\ M^{02} &= -M^{20} \equiv K^2 \\ M^{03} &= -M^{30} \equiv K^2 \\ M^{23} &= -M^{32} \equiv J^1 \\ M^{31} &= -M^{13} \equiv J^2 \\ M^{12} &= -M^{21} \equiv J^2 \end{aligned}
(39.3) \left[ M^{ \mu \nu }, M^{ \rho \sigma } \right] = g^{ \nu \rho } M^{ \mu \sigma } - g^{ \mu \rho } M^{ \nu \sigma } - g^{ \nu \sigma } M^{ \mu \rho } + g^{ \mu \sigma } M^{ \nu \rho }
(39.4) {\left( M^{ \mu \nu } \right)^\alpha}_\beta = g^{ \mu \alpha } \delta^\nu_\beta - g^{ \nu \alpha } \delta^\mu_\beta
(39.5) \omega_{ \mu \nu } = -\omega_{ \nu \mu }
(39.6) \Lambda = \exp\left( \frac{1}{2} \omega_{ \mu \nu } M^{ \mu \nu } \right)
(39.7) J^{ \mu \nu } \equiv i M^{ \mu \nu }
(39.8) \left[ J^{ \mu \nu }, J^{ \rho \sigma } \right] = i \left( g^{ \nu \rho } J^{ \mu \sigma } - g^{ \mu \rho } J^{ \nu \sigma } - g^{ \nu \sigma } J^{ \mu \rho } + g^{ \mu \sigma } J^{ \nu \rho } \right)
(39.9) {\left( J^{ \mu \nu } \right)^\alpha}_\beta = i \left( g^{ \mu \alpha } \delta^\nu_\beta - g^{ \nu \alpha } \delta^\mu_\beta \right)
(39.10) \Lambda = \exp\left( \frac{-i}{2} \omega_{ \mu \nu } J^{ \mu \nu } \right)
(39.11) Ejercicio propuesto \begin{aligned} \text{\footnotesize a) } &\text{\footnotesize Demostrar la fórmula (39.3): } \\ &\left[ M^{ \mu \nu }, M^{ \rho \sigma } \right] = g^{ \nu \rho } M^{ \mu \sigma } - g^{ \mu \rho } M^{ \nu \sigma } - g^{ \nu \sigma } M^{ \mu \rho } + g^{ \mu \sigma } M^{ \nu \rho } \\ \text{\footnotesize b) } &\text{\footnotesize Demostrar la fórmula (39.4): } \\ &{\left( M^{ \mu \nu } \right)^\alpha}_\beta = g^{ \mu \alpha } \delta^\nu_\beta - g^{ \nu \alpha } \delta^\mu_\beta \end{aligned} Soluciones enviadas: Roger Balsach
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Albert Dalmau
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Capítulo 40: Representación Espinorial del Grupo de Lorentz

(40.1) Generadores Gμν de la
representación espinoral del grupo de Lorentz
G^{\mu \nu} = \frac{i}{4} \left[ \gamma^\mu, \gamma^\nu \right] \equiv \frac{1}{2} \sigma^{\mu \nu}
(40.2) Álgebra del grupo \left[ G^{\mu \nu}, G^{\rho \sigma} \right] = i \left( g^{\nu \rho} G^{\mu \sigma} - g^{\mu \rho} G^{\nu \sigma} - g^{\nu \sigma} G^{\mu \rho} + g^{\mu \sigma} G^{\nu \rho} \right) \left[ \frac{1}{2} \sigma^{\mu \nu}, \frac{1}{2} \sigma^{\rho \sigma} \right] = i \left( g^{\nu \rho} \frac{1}{2} \sigma^{\mu \sigma} - g^{\mu \rho} \frac{1}{2} \sigma^{\nu \sigma} - g^{\nu \sigma} \frac{1}{2} \sigma^{\mu \rho} + g^{\mu \sigma} \frac{1}{2} \sigma^{\nu \rho} \right)
(40.3) Transformación general de Lorentz en esta representación S \left[ \Lambda \left( \omega_{\mu \nu} \right) \right] = \exp \left( \frac{-i}{2} \omega_{\mu \nu} \frac{ \sigma^{\mu \nu} }{2} \right) \omega_{\mu \nu} = - \omega_{\nu \mu} \in \R
(40.4) Ejemplos de transformaciones \begin{aligned} S \left[ \Lambda_\text{BOOST \textendash Z}(\eta) \right] &= \cosh \frac{\eta}{2} + \gamma^0 \gamma^3 \sinh \frac{\eta}{2} \\ S \left[ \Lambda_\text{ROT \textendash Y}(\theta) \right] &= \cos \frac{\theta}{2} + \gamma^3 \gamma^1 \sin \frac{\theta}{2} \\ S \left[ \Lambda_\text{ROT \textendash Z}(\phi) \right] &= \cos \frac{\phi}{2} + \gamma^1 \gamma^2 \sin \frac{\phi}{2} \end{aligned}
(40.5) Ejercicios propuestos \text{\footnotesize 1. Teniendo en cuenta:} G^{\mu\nu} = \frac{ i \gamma^\mu \gamma^\nu }{2} \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 g^{\mu\nu} \text{\footnotesize Demostrar:} \left[ \frac{ i \gamma^\mu \gamma^\nu }{2} , \frac{ i \gamma^\rho \gamma^\sigma }{2} \right] = i \left( g^{\nu\rho} G^{\mu\sigma} - g^{\mu\rho} G^{\nu\sigma} - g^{\nu\sigma} G^{\mu\rho} + g^{\mu\sigma} G^{\nu\rho} \right) \text{\footnotesize 2. Demostrar} S \left[ \Lambda_{\text{BOOST-Z}} \right] = \ch \frac{\eta}{2} + \gamma^0 \gamma^3 \sh \frac{\eta}{2} S \left[ \Lambda_{\text{ROT-Y}} \right] = \cos \frac{\theta}{2} + \gamma^3 \gamma^1 \sin \frac{\theta}{2} S \left[ \Lambda_{\text{ROT-Z}} \right] = \cos \frac{\phi}{2} + \gamma^1 \gamma^2 \sin \frac{\phi}{2} Soluciones enviadas: Roger Balsach
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Albert Dalmau
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Capítulo 41: Función de onda del electrón a partir del Grupo de Lorentz

(41.1) Minkowski \begin{pmatrix} p^0 \\ p^1 \\ p^2 \\ p^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ 0 & \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh \eta & 0 & 0 & \sinh \eta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \sinh \eta & 0 & 0 & \cosh \eta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} mc \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
(41.2) Espacio interno \psi = \exp \left[ - i \phi \frac{ \sigma^{12} }{ 2 } \right] \exp \left[ - i \theta \frac{ \sigma^{31} }{ 2 } \right] \exp \left[ - i \eta \frac{ \sigma^{03} }{ 2 } \right] \psi_{CM}
(41.3) Transformaciones S \left[ \Lambda_{ \text{boost} - z } (\eta) \right] = \cosh \frac{\eta}{2} + \gamma^0 \gamma^3 \sinh \frac{\eta}{2} S \left[ \Lambda_{ \text{rot} - y } (\theta) \right] = \cos \frac{\theta}{2} + \gamma^3 \gamma^1 \sin \frac{\theta}{2} S \left[ \Lambda_{ \text{rot} - z } (\phi) \right] = \cos \frac{\phi}{2} + \gamma^1 \gamma^2 \sin \frac{\phi}{2}
(41.4) Matrices de Pauli \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \hspace3ex \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \hspace3ex \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
(41.5) Matrices gamma en la representación de Dirac \gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} \hspace3ex \gamma^1 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_x \\ -\sigma_x & 0 \end{pmatrix} \gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_y \\ -\sigma_y & 0 \end{pmatrix} \hspace3ex \gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_z \\ -\sigma_z & 0 \end{pmatrix}
(41.6) Usando la representación de matrices gamma y productos directos: S[ \Lambda ] = \begin{pmatrix} \cosh \frac{\eta}{2} & 0 \\ 0 & \cosh \frac{\eta}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} e^{ -\frac{1}{2} i \phi} \cos \frac{\theta}{2} & - e^{ -\frac{1}{2} i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \\ e^{ \frac{1}{2} i \phi} \sin \frac{\theta}{2} & e^{ \frac{1}{2} i \phi} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & \sinh \frac{\eta}{2} \\ \sinh \frac{\eta}{2} & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} e^{ -\frac{1}{2} i \phi} \cos \frac{\theta}{2} & e^{ -\frac{1}{2} i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \\ e^{ \frac{1}{2} i \phi} \sin \frac{\theta}{2} & - e^{ \frac{1}{2} i \phi} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix}
(41.7) Notación (onda plana) \exp \left( \frac{-i}{\hbar} px \right) = \exp \left( -i \frac{ p_\mu x^\mu }{ \hbar} \right) = \exp \left[ \frac{-i}{\hbar} \left( Et - \overrightarrow{p} · \overrightarrow{r} \right) \right]
(41.8) Solución partícula libre en el sistema de referencia centro de masas \psi_{cm}^{(1)} = \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \exp \left( -i \frac{ mc^2 }{\hbar} t \right) \hspace4ex , E = mc^2 \psi_{cm}^{(2)} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \phi_3 \\ \phi_4 \end{pmatrix} \exp \left( i \frac{ mc^2 }{\hbar} t \right) \hspace4ex , E = -mc^2
(41.9) Ejercicios propuestos \text{\footnotesize 1. Demostrar:} \cos \frac{\theta}{2} + \gamma^3 \gamma^1 \sin \frac{\theta}{2} = \mathbb{I} \otimes \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} & -\sin \frac{\theta}{2} \\ \sin \frac{\theta}{2} & \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \text{\footnotesize 2. Demostrar:} \cosh \frac{\eta}{2} + \gamma^0 \gamma^3 \sinh \frac{\eta}{2} = \cosh \frac{\eta}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} + \sigma^1 \otimes \sigma^3 \sinh \frac{\eta}{2} Soluciones enviadas: Roger Balsach
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Albert Dalmau
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Capítulo 42: ¡Aparición del Spin!

(42.1) S[Λ] sobre la base canónica (extrayendo fase global): \begin{aligned} &S[\Lambda] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh \frac{\eta}{2} \\ \sinh \frac{\eta}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \\ &S[\Lambda] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh \frac{\eta}{2} \\ -\sinh \frac{\eta}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -e^{-i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \\ \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \\ &S[\Lambda] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sinh \frac{\eta}{2} \\ \cosh \frac{\eta}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \\ &S[\Lambda] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sinh \frac{\eta}{2} \\ \cosh \frac{\eta}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -e^{-i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \\ \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}
(42.2) Estados de helicidad \chi_+ = \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \chi_- = \begin{pmatrix} -e^{-i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \\ \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix}
(42.3) Ejercicio propuesto: \text{Demostrar:} \begin{aligned} &S[\Lambda] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh \frac{\eta}{2} \\ \sinh \frac{\eta}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} e^{-i \frac{\phi}{2} } \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{i \frac{\phi}{2} } \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \\ &S[\Lambda] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh \frac{\eta}{2} \\ -\sinh \frac{\eta}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -e^{-i \frac{\phi}{2} } \sin \frac{\theta}{2} \\ e^{i \frac{\phi}{2} } \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \\ &S[\Lambda] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sinh \frac{\eta}{2} \\ \cosh \frac{\eta}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} e^{-i \frac{\phi}{2} } \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{i \frac{\phi}{2} } \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \\ &S[\Lambda] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sinh \frac{\eta}{2} \\ \cosh \frac{\eta}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -e^{-i \frac{\phi}{2} } \sin \frac{\theta}{2} \\ e^{i \frac{\phi}{2} } \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \end{aligned} Roger Balsach
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Antonio Gros
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Rodolfo Guidobono
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Capítulo 43: Spinores de Dirac. Propiedades

(43.1) Spinores de Dirac u_{1}=\left( \begin{array}{c} \cosh \frac{\eta}{2} \\ \sinh \frac{\eta}{2} \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array}{c} \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{i\phi}\sin \frac{\theta}{2} \end{array} \right) \qquad u_{2}=\left( \begin{array}{c} \cosh \frac{\eta}{2} \\ -\sinh \frac{\eta}{2} \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array}{c} -e^{-i\phi}\sin \frac{\theta}{2} \\ \cos \frac{\theta}{2} \end{array} \right) v_{1}=\left( \begin{array}{c} \sinh \frac{\eta}{2} \\ \cosh \frac{\eta}{2} \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array}{c} \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{i\phi}\sin \frac{\theta}{2} \end{array} \right) \qquad v_{2}=\left( \begin{array}{c} -\sinh \frac{\eta}{2} \\ \cosh \frac{\eta}{2} \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array}{c} -e^{-i\phi}\sin \frac{\theta}{2} \\ \cos \frac{\theta}{2} \end{array} \right)
(43.2) Base de estados de spin 1/2 \chi_{+}^{\dag}\chi_{+} =\chi_{-}^{\dag}\chi_{-}=1 \\ \chi_{+}^{\dag}\chi_{-} =\chi_{-}^{\dag}\chi_{+}=0
(43.3) Resolución de la identidad \chi_{+}\chi_{+}^{\dag}+\chi_{-}\chi_{-}^{\dag}=\mathbf{1}
(43.4) Matriz de spin 1/2 \overrightarrow{\sigma}\cdot \widehat{n} = \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & e^{-i\phi}\sin \theta \\ e^{i\phi}\sin \theta & -\cos \theta \end{array} \right) \left( \overrightarrow{\sigma}\cdot \widehat{n}\right) \chi_{+} = \chi_{+} \left( \overrightarrow{\sigma}\cdot \widehat{n}\right) \chi_{-} = -\chi_{-}
(43.5) Propiedades de los spinores de Dirac \begin{aligned} u_{i}^{\dag}(\overrightarrow{p})u_{j}(\overrightarrow{p}) &= v_{i}^{\dag}( \overrightarrow{p})v_{j}(\overrightarrow{p}) &&= \frac{E}{mc^{2}}\delta_{ij} \\ \overline{u}_{i}(\overrightarrow{p})u_{j}(\overrightarrow{p}) &= -\overline{v}_{i}(\overrightarrow{p})v_{j}(\overrightarrow{p}) &&= \delta_{ij} \\ \overline{u}_{i}(\overrightarrow{p})v_{j}(\overrightarrow{p}) &= \overline{v}_{i}(\overrightarrow{p})u_{j}(\overrightarrow{p}) &&= 0 \\ u_{i}^{\dag}(-\overrightarrow{p})v_{j}(\overrightarrow{p}) &= v_{i}^{\dag}(\overrightarrow{p})u_{j}(-\overrightarrow{p}) &&= 0 \\ \sum_{i=1}^{2}u_{i}(\overrightarrow{p})\overline{u}_{i}(\overrightarrow{p}) &= \frac{\gamma ^{\mu}p_{\mu}+mc}{2mc} \\ \sum_{i=1}^{2}v_{i}(\overrightarrow{p})\overline{v}_{i}(\overrightarrow{p}) &= \frac{\gamma ^{\mu}p_{\mu}-mc}{2mc} \end{aligned}
(43.6) Ejercicio propuesto \text{a) Demostrar: \hspace16ex} \overline{u}_i u_j = \delta_{ij} \overline{v}_i v_j = -\delta_{ij} \text{b) Demostrar: \hspace16ex} u^{\dag}_i u_j = v^{\dag}_i v_j = \frac{E}{mc^2} \delta_{ij} v^{\dag}_i u_j = u^{\dag}_i v_j = 0 \text{c) Demostrar: \hspace16ex} u_{i}^{\dag}(-\overrightarrow{p})v_{j}(\overrightarrow{p}) = v_{i}^{\dag}(\overrightarrow{p})u_{j}(-\overrightarrow{p}) = 0 \text{d) Demostrar: \hspace16ex} \sum_{i=1}^{2}v_{i}\overline{v}_{i} = \frac{\gamma ^{\mu}p_{\mu}-mc}{2mc} Soluciones enviadas: Roger Balsach
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Capítulo 44: Solución general de la Ecuación de Dirac

(44.1) Spinores de Dirac u_1(\vec{p}) = \sqrt{\frac{E + mc^2}{2mc^2}} \begin{pmatrix}\chi_+ \\ \frac{c(\vec{\sigma}\cdot \vec{p})}{E + mc^2}\chi_+\end{pmatrix} u_2(\vec{p}) = \sqrt{\frac{E + mc^2}{2mc^2}} \begin{pmatrix}\chi_- \\ \frac{c(\vec{\sigma}\cdot \vec{p})}{E + mc^2}\chi_-\end{pmatrix} v_1(\vec{p}) = \sqrt{\frac{E + mc^2}{2mc^2}} \begin{pmatrix}\frac{c(\vec{\sigma}\cdot \vec{p})}{E + mc^2}\chi_+ \\ \chi_+\end{pmatrix} v_2(\vec{p}) = \sqrt{\frac{E + mc^2}{2mc^2}} \begin{pmatrix}\frac{c(\vec{\sigma}\cdot \vec{p})}{E + mc^2}\chi_- \\ \chi_-\end{pmatrix}
(44.2) Estados de helicidad \chi_+ = \frac{1}{\sqrt{2(1+n^3)}} \begin{pmatrix}1 + n^3 \\ n^1 + i n^2\end{pmatrix} \chi_- = \frac{1}{\sqrt{2(1+n^3)}} \begin{pmatrix}-n^1 + i n^3 \\ 1 + n^3\end{pmatrix} Donde \vec{n} = (n^1,n^2,n^3) \text{ es un vector unitario en el sentido del movimiento.}
(44.3) Solución ecuación de Dirac \psi = \sum_{r=1}^2 \left( c_r u_r(\vec{p})e^{-\frac{i}{\hbar} px} + d_r v_r(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar} px}\right)
(44.4) Ejercicios propuestos \text{1) Demostrar las ecuaciones 44.1} \text{2) Demostrar las ecuaciones 44.2} \text{3) Demostrar para } r = 1,\ 2 \begin{pmatrix}p_0 - mc & -\vec{\sigma}\cdot \vec{p} \\ \vec{\sigma}\cdot \vec{p} & -p_0 - mc\end{pmatrix}u_r = 0 \begin{pmatrix}p_0 + mc & -\vec{\sigma}\cdot \vec{p} \\ \vec{\sigma}\cdot \vec{p} & -p_0 + mc\end{pmatrix}v_r = 0 Soluciones enviadas: Roger Balsach
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Capítulo 45: Solución general de la Ecuación de Dirac 2

(45.1) Solución general de la ecuación de Dirac \psi = \sum_{r=1}^2 \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_k}}\left( c_r(\vec{k}) u_r(\vec{k})e^{-ikx} + d_r(\vec{k})v_r(\vec{k})e^{ikx} \right) Donde \vec{p} = \hbar \vec{k} k^0 = \frac{\omega_k}{c} = \sqrt{|\vec{k}|^2+\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2}

Capítulo 46: Función de Green de DIRAC

(46.1) Propiedad matrices Dirac p_\mu p_\nu \gamma^\mu \gamma^\nu = p^2 \mathbb{I}_4
(46.2) Función de Green para el campo de Dirac.
Espacio de momentos
\hat{G}(k) = \frac{\hbar \gamma^\nu k_\nu + mc}{(\hbar k)^2 - (mc)^2} Que cumple la ecuación: \left(\hbar \gamma^\mu k_\mu - mc\right) \hat{G}(k) = 1
(46.3) Función de Green para el campo de Dirac.
Espacio de posiciones
G(x,x') = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}e^{-ik(x-x')}\frac{\hbar \gamma^\nu k_\nu + mc}{(\hbar k)^2 - (mc)^2} Que cumple la ecuación: \left(i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc\right) G(x,x') = \delta^{(4)}(x-x')
(46.4) Ejercicio propuesto \text{a) Calcular explícitamente la matriz } \gamma^\mu k_\mu - mc \text{b) Calcular explícitamente la matriz inversa del apartado anterior.} Soluciones enviadas: Roger Balsach
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Capítulo 47: Yang - Mills: Introducción

No hay fórmulas

Capítulo 48: Yang - Mills: Transporte Paralelo

(48.1) Base de vectores del espacio interno \{e_a(x)\}, \qquad a=1,2,...,N e_a(x) \text{ es una función de} \text{las coordinadas } x^\mu \text{ suficientemente "suave".}
(48.2) Vectores en
el espacio interno
\vec{v} = v^a e_a
(48.3) Transformación de
las coordenadas de un vector
v^{a'} = M^{a'}_a v^a
(48.4) Transformación de
los vectores de la base
e_{a'} = M^a_{a'} e_a
(48.5) Matrices de transformación M^{a'}_a \ \leftarrow \text{ Componentes de la matriz } M M^{a}_{a'} \ \leftarrow \text{ Componentes de la matriz } M^{-1}
(48.6) Parametrización de
una curva espacio-temporal
x^\mu (\lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}
(48.7) Derivada de los vectores de la base \frac{d e_a}{d \lambda} = \partial_\mu e_a \frac{d x^\mu}{d \lambda} = \frac{d x^\mu}{d \lambda} \Pi^{b}_{\mu a}(x) e_b(x) Donde se define la conexión \partial_\mu e_a = \Pi^b_{\mu a} (x) e_b(x)
(48.8) Derivada de un vector a lo largo de la curva (48.6): \frac{d \vec{v}}{d \lambda} = \frac{d x^\mu}{d \lambda} \left(\partial_\mu v^a + \Pi^{b}_{\mu a} v^c\right) e_a
(48.9) Transporte paralelo \text{Dado un vector } \vec{v}(x(\lambda)) \text{ definimos otro } \vec{v}^{\parallel}(\lambda) \text{ que cumpla:} \text{1) }\vec{v}^\parallel(\lambda=0) = \vec{v}(\lambda=0) \text{2) }\frac{d\vec{v}^\parallel}{d \lambda} = 0 \Longrightarrow \partial_\mu {v^\parallel}^a + \Pi^a_{\mu c} {v^\parallel}^c = 0 Este vector cumple: {v^\parallel}^a (x + \delta x) \approx v^a(x) - \Pi^a_{\mu c}(x) v^c (x) \delta x^\mu
(48.10) Derivada covariante D_\mu v^a = \frac{v^a(x+\delta x) - {v^\parallel}^a(x+\delta x)}{\delta x^\mu} = \partial_\mu v^a + \Pi^a_{\mu b}v^b \text{Donde } \delta x \text{ es un cuadrivector en la dirección } \mu. \partial_\mu \vec{v} = (D_\mu v^a)e_a
(48.11) Transformación de la conexión \text{Si queremos que } \partial_\mu \vec{v} \text{ sea un vector:} \Pi'_\mu = M \Pi_\mu M^{-1} - (\partial_\mu M) M^{-1} Donde \Pi^a_{\mu b} \leftarrow \text{Elemento } a,\ b \text{ de la matriz } \Pi_\mu

Capítulo 49: Yang - Mills: Curvatura vs. Tensor FARADAY

(49.1) Transporte paralelo \stackrel{\curvearrowleft}{v}^\parallel(C) \cong \left[1 - \Pi_x(A) \delta x - \Pi_y(B) \delta y + \Pi_y(B) \Pi_x(A) \delta x \delta y\right]v(A) \stackrel{\curvearrowright}{v}^\parallel(C) \cong \left[1 - \Pi_y(A) \delta y - \Pi_x(D) \delta x + \Pi_x(D) \Pi_y(A) \delta x \delta y\right]v(A)
(49.2) Dependencia del transporte paralelo respecto al camino \lim_{\begin{matrix}\delta x \to 0\\ \delta y \to 0\end{matrix}} \frac{\stackrel{\curvearrowleft}{v}^\parallel(C) - \stackrel{\curvearrowright}{v}^\parallel(C)}{\delta x \delta y} = \left[\partial_y \Pi_x - \partial_x \Pi_y + \Pi_y \Pi_x - \Pi_x \Pi_y\right]v(A)
(49.3) Segunda derivada de los vectores de la base (\partial_x \partial_y - \partial_y \partial_x) e_a = \left[\partial_x \Pi_y - \partial_y \Pi_x + \Pi_x \Pi_y - \Pi_y \Pi_x\right]^{b}_{a}e_b (\partial_\mu \partial_\nu - \partial_\nu \partial_\mu) e_a = \left[\partial_\mu \Pi_\nu - \partial_\nu \Pi_\mu + \Pi_\mu \Pi_\nu - \Pi_\nu \Pi_\mu \right]^{b}_{a}e_b
(49.4) Tensor de Curvatura \text{Definimos el tensor de curvatura } F_{\mu\nu} \text{como} F_{\mu\nu} \propto \partial_\mu \Pi_\nu - \partial_\nu \Pi_\mu + \Pi_\mu \Pi_\nu - \Pi_\nu \Pi_\mu De forma que \lim_{\text{Área} \to 0} \frac{\text{diferencia} \stackrel{\circlearrowleft}{v}}{\text{Área}} \propto -F_{\mu\nu} v (\partial_\mu \partial_\nu - \partial_\nu \partial_\mu) e_a \propto \left[F_{\mu\nu}\right]^{b}_{a} e_b
(49.5) Ejercicio propuesto \text{Demostrar la ecuación para } \stackrel{\curvearrowright}{v}^\parallel(C) \text{que aparece en 49.1} Soluciones enviadas: Roger Balsach
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Capítulo 50: Yang Mills: Transformación de Gauge de F

(50.1) Conmutador derivadas covariantes F_{\mu\nu} \propto D_\mu D_\nu - D_\nu D_\mu = \left[D_\mu, D_\nu\right]
(50.2) Transformación de la derivada covariante \text{Si queremos que } \partial_\mu \vec{v} \text{ sea un vector} D'_\mu v' = M D_\mu v Donde D'_\mu = \partial_\mu + \Pi'_\mu M \text{ está definida en la} fórmula 48.5
(50.3) Transformación segunda
derivada covariante
D'_\mu D'_\nu v' = M D_\mu D_\nu v
(50.4) Transformación
del tensor de curvatura
F'_{\mu\nu}v' = M F_{\mu\nu} v F'_{\mu\nu} = M F_{\mu\nu} M^{-1}

Capítulo 51: Yang Mills: SU(2) vía Momento Angular

(51.1) Momento angular
Newton
\vec{L} = (L_x, L_y, L_z) L_x = y p_z - z p_y L_y = z p_x - x p_z L_z = x p_y - y p_x
(51.2) Relaciones conmutación [L_i, L_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk}L_k
(51.3) Momento angular generalizado \text{Conjunto de tres operadores } \{J_i\}_{i=1}^3 \text{que cumplen la ecuación 51.2} [J_i, J_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk}J_k J^2 = J_1^2+J_2^2+J_3^2
(51.4) Teorema (Lema de Schur) [B, J_i]=0, \ \forall i \Longrightarrow B \propto \mathbb{I} \text{Decimos que } B \text{ es un casimir}. Entonces J^2 \text{ es un casimir}
(51.5) Base propia \text{Sea } \{\ket{\phi_n}\}_{n=1}^N \text{ la base pròpia de } J_3 Entonces J_3 \ket{\phi_n} = m\hbar \ket{\phi_n} J^2\ket{\phi_n} = \hbar^2 j(j+1) \ket{\phi_n} Donde j = \frac{n}{2}, \qquad n\in \mathbb{N} m \in \{-j, -j+1, \ldots, j-1, j\}
(51.6) Operadores escalera J_+\ket{\phi_n} = \alpha_n \ket{\phi_{n+1}} J_- \ket{\phi_n} = \beta_n \ket{\phi_{n-1}} Donde \alpha_n = \hbar \sqrt{j(j+1)-n(n+1)} \beta_n = \hbar \sqrt{j(j+1)-n(n-1)}=\alpha_{n-1}
(51.7) Propiedades de los operadores escalera \left.\begin{matrix}J_+ = J_1 + i J_2 \\ J_- = J_1 - i J_2\end{matrix}\right\} \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}J_1 = \frac{1}{2}(J_++J_-) \\ J_2 = \frac{1}{2i}(J_+-J_-)\end{matrix}\right. J_-=J_+^\dag [J_3, J_+] = \hbar J_+ [J_3, J_-] = -\hbar J_- [J_+, J_-] = 2\hbar J_3
(51.8) Notación Estándar \text{Los estados } \{\ket{\phi_n}\} \text{ se suelen escribir en función} \text{de los valores propios de } J_3 \text{ y } J^2. \ket{\phi_n} \rightarrow \ket{j, m} De forma que J_3 \ket{j, m} = \hbar m \ket{j, m} J^2 \ket{j, m} = \hbar^2 j(j+1) \ket{j, m}

Capítulo 52: Yang Mills: SU(2) vía SUMA MOMENTOS ANGULARES

(52.1) Componentes de los operadores momento angular \braket{j,m'\vert J_+ \vert j,m} = \hbar \sqrt{j(j+1)-mm'}\delta_{m',m+1} \braket{j,m'\vert J_- \vert j,m} = \hbar \sqrt{j(j+1)-mm'}\delta_{m',m-1} \braket{j,m'\vert J_1 \vert j,m} = \frac{\hbar}{2} \sqrt{j(j+1)-mm'}\left(\delta_{m',m+1}+\delta_{m',m-1}\right) \braket{j,m'\vert J_2 \vert j,m} = \frac{\hbar}{2i} \sqrt{j(j+1)-mm'}\left(\delta_{m',m+1}-\delta_{m',m-1}\right) \braket{j,m'\vert J_3 \vert j,m} = \frac{\hbar}{2} m \delta_{m',m}
(52.2) Matrices asociadas a un operador \text{La matriz asociada a un operador } M \text{ actuando sobre un espacio con base } \mathscr{B}=\{\ket{n}\}_{n=1}^N \text{ es} M = \begin{pmatrix} \braket{1\vert M \vert 1} & \braket{1\vert M \vert 2} & \cdots & \braket{1\vert M \vert N}\\ \braket{2\vert M \vert 1} & \braket{2\vert M \vert 2} & \cdots & \braket{2\vert M \vert N}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \braket{N\vert M \vert 1} & \braket{N\vert M \vert 2} & \cdots & \braket{N\vert M \vert N} \end{pmatrix} \text{Es decir, sus componentes vendrán dadas por} M_{ij} = \braket{i \vert M \vert j}
(52.3) Matrices asociadas al operador
momento angular I
\text{Escogiendo la base} \mathscr{B}=\{\ket{j,m}\}_{m=j}^{-j} J_1^{1/2} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} J_2^{1/2} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0\\ \end{pmatrix} J_3^{1/2} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}
(52.4) Matrices asociadas al operador
momento angular II
J_1^{1} = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix} J_2^{1} = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & -i & 0\\ i & 0 & -i\\ 0 & i & 0\\ \end{pmatrix} J_3^{1} = \hbar\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}
(52.5) Matrices asociadas al operador
momento angular III
J_1^{3/2} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{3} & 0 & 0\\ \sqrt{3} & 0 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{3}\\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0\\ \end{pmatrix} J_2^{3/2} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i\sqrt{3} & 0 & 0\\ i\sqrt{3} & 0 & -2i & 0\\ 0 & 2i & 0 & -i\sqrt{3}\\ 0 & 0 & i\sqrt{3} & 0\\ \end{pmatrix} J_3^{3/2} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -3\\ \end{pmatrix}
(52.6) Suma momento angular \text{Dado un sistema con momento angular } \vec{J}^A \text{ actuando sobre un espacio } \mathcal{H}^A, \text{y otro sistema con momento angular} \vec{J}^B \text{ actuando sobre un espacio } \mathcal{H}^B. El sistema conjunto tendrá momento angular dado por los operadores \vec{J}^A + \vec{J}^B = \vec{J}^A\otimes \mathbb{I}_B + \mathbb{I}_A\otimes \vec{J}^B Actuando sobre el espacio \mathcal{H}^A \otimes \mathcal{H}^B
(52.7) Matrices asociadas a la suma de momentos angulares j_A \otimes j_B = |j_A + j_B| \oplus |j_A + j_B - 1| \oplus \cdots \oplus |j_A - j_B| De forma equivalente, la
matriz asociada se puede escribir como
\vec{J}^A + \vec{J}^B = \vec{J}^{j_A+j_B} \oplus \vec{J}^{j_A+j_B-1} \oplus \cdots \oplus \vec{J}^{|j_A-j_B|} Recordando que A \oplus B = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \\ \end{pmatrix}
(52.8) Ejemplo \frac{1}{2} \otimes 1 = \frac{3}{2} \oplus \frac{1}{2} J_1 = \begin{pmatrix} J_1^{3/2} & 0 \\ 0 & J_1^{1/2} \\ \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{cccc:cc} 0 & \sqrt{3} & 0 & 0 & 0 & 0\\ \sqrt{3} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{3} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & 0 & 0\\ \hdashline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{array}\right) J_2 = \begin{pmatrix} J_2^{3/2} & 0 \\ 0 & J_2^{1/2} \\ \end{pmatrix} J_3 = \begin{pmatrix} J_3^{3/2} & 0 \\ 0 & J_3^{1/2} \\ \end{pmatrix}
(52.9) Coeficientes de Clebsch-Gordan \text{La base } \{\ket{j_A, j_B, J, M}\} \text{ del espacio } \mathcal{H}^A\otimes \mathcal{H}^B \text{se puede relacionar con la base } \{\ket{j_A, m_A}\otimes \ket{j_B, m_B}\} \ket{j_A, j_B, J, M} = \sum_{m_A, m_B} C_{j_Am_Aj_Bm_B}^{JM}\ket{j_A, m_A}\otimes \ket{j_B, m_B} C_{j_Am_Aj_Bm_B}^{JM} = \text{Coeficientes de Clebsch-Gordan.}

Capítulo 53: ISOSPIN - SU(2)

(53.1) Espacio de Isospín \mathcal{H} = \{\ket{p}, \ket{n}\} Un estado arbitrario vendrá dado por \ket{\psi} = \alpha \ket{p} + \beta \ket{n} |\alpha|^2+|\beta|^2=1
(53.2) Creación y aniquilación de nucleones \text{Podemos definir los operadores} \text{creación y aniquilación de nucleones:} a_p,\quad a_p^\dag, \quad a_n, \quad a_n^\dag Con las propiedades a_p^\dag \ket{0} = \ket{p}, \qquad a_n^\dag \ket{0} = \ket{n} a_i a_j^\dag + a_j^\dag a_i = \delta_{ij} a_i^\dag a_j^\dag + a_j^\dag a_i^\dag = 0, \qquad \forall i,j a_i a_j + a_j a_i = 0, \qquad \forall i,j
(53.3) Álgebra cerrada \text{Los operadores } \{a_p^\dag a_p,\ a_n^\dag a_n,\ a_n^\dag a_p,\ a_p^\dag a_n\} \text{ forman un álgebra cerrada.} Es decir, [a_i^\dag a_j, a_k^\dag a_l] = \sum_{n,m} \alpha^{nm}_{ijkl} a_n^\dag a_m [a_p^\dag a_p, a_p^\dag a_n] = a_p^\dag a_n, \qquad [a_p^\dag a_p, a_n^\dag a_p] = -a_n^\dag a_p [a_n^\dag a_n, a_p^\dag a_n] = -a_p^\dag a_n, \qquad [a_n^\dag a_n, a_n^\dag a_p] = a_n^\dag a_p [a_p^\dag a_n, a_n^\dag a_p] = a_p^\dag a_p - a_n^\dag a_n \text{Todos los demás conmutadores son cero,} \text{ o se obtienen por antisimetría.}
(53.4) Operadores de Isospín \vec{I} = (I_1, I_2, I_3) = (I_x, I_y, I_z) I_1 = \frac{1}{2}(a_p^\dag a_n + a_n^\dag a_p) I_2 = \frac{1}{2i}(a_p^\dag a_n - a_n^\dag a_p) I_3 = \frac{1}{2}(a_p^\dag a_p - a_n^\dag a_n) [I_i, I_j] = i \varepsilon_{ijk}I_k
(53.5) Sección eficaz \text{La probabilidad de que un estado } \ket{IN} \text{ se convierta en otro estado } \ket{OUT} \text{es proporcional a la cantidad } \sigma(IN \rightarrow OUT). \sigma(IN \rightarrow OUT) \sim \left|\braket{IN \vert S \vert OUT}\right|^2 S = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \beta \\ \end{pmatrix}
(53.6) Ejercicio propuesto \begin{aligned} 1) \hspace2ex &\text{Comprobar que } \left[a_p^\dag a_n, a_n^\dag a_p\right]=a_p^\dag a_p - a_n^\dag a_n\\ 2) \hspace2ex &\text{Comprobar las relaciones de conmutación }\\ &\hspace15ex \left[I_i, I_j\right]=i\varepsilon_{ijk} I_k\\ 3) \hspace2ex &\text{Invertir las siguientes ecuaciones:}\\ &\hspace1ex\ket{\Delta^{++}} = \ket{\pi^+, p}\\ &\hspace1ex\ket{\Delta^{+}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\ket{\pi^+, n} + \sqrt{\frac{2}{3}}\ket{\pi^0, p}\\ &\hspace1ex\ket{\Delta^{0}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\ket{\pi^0, n} + \frac{1}{\sqrt{3}}\ket{\pi^-, p}\\ &\hspace1ex\ket{\Delta^{-}} = \ket{\pi^-, n}\\ &\hspace1ex\Ket{1\ \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\ +\frac{1}{2}} = - \sqrt{\frac{2}{3}}\ket{\pi^+, n} + \frac{1}{\sqrt{3}}\ket{\pi^0, p}\\ &\hspace1ex\Ket{1\ \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\ -\frac{1}{2}} = - \frac{1}{\sqrt{3}}\ket{\pi^0, n} + \sqrt{\frac{2}{3}}\ket{\pi^-, p}\\ 4) \hspace2ex &\text{Comprobar que } \sigma(\pi^- p \rightarrow \pi^- p) \sim \frac{1}{9}|\alpha + 2\beta|^2 \end{aligned} Soluciones enviadas: Roger Balsach
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Rodolfo Guidobono
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Capítulo 54: Grupos de Lie 1

(54.1) Grupo de Lie \text{Dado un conjunto } M \text{ parametrizado por } a, \text{junto con un producto } \cdot, \text{ forman un grupo de Lie si:} \begin{aligned} 0) & \hspace2ex \forall a,b\quad \exists c: \hspace2ex M(a)\cdot M(b) = M(c)\\ 1) & \hspace2ex \forall a,b,c: \hspace2ex M(a)\cdot (M(b)\cdot M(c)) = (M(a)\cdot M(b))\cdot M(c)\\ 2) & \hspace2ex \exists e: \hspace2ex M(e)\cdot M(a) = M(a)\cdot M(e) = M(a), \quad \forall a\\ 3) & \hspace2ex \forall a \quad \exists b: \hspace2ex M(a)\cdot M(b) = M(b)\cdot M(a) = M(e)\\ \end{aligned} De forma opcional, también queremos que se cumpla e = 0 \Longrightarrow M(0)=\mathbb{I} El grupo será abeliano si se cumple 4) \hspace2ex \forall a,b: \hspace2ex M(a)\cdot M(b) = M(b) \cdot M(a)\\
(54.2) Generadores del grupo \text{Definimos los generadores } B \text{ del grupo, como} B = \lim_{\varepsilon\to 0} \frac{M(\varepsilon) - M(0)}{\varepsilon} = \left.\frac{dM(a)}{da}\right|_{a=0} Si hay más de un parámetro B_i = \left.\frac{\partial M(\vec{a})}{\partial a_i}\right|_{\vec{a}=0}
(54.3) Congruencias del grupo ( "río" ) \text{Dado un punto } \vec{x}(a) = M(a) \vec{x}_0 \text{su velocidad vendrá dada por} \frac{d \vec{x}(a)}{da} = B \vec{x}(a) \vec{x}(a) = e^{a B} \vec{x}_0 \text{Las curvas definidas por el vector } \vec{x}(a) \text{ son las congruencias del grupo.}
(54.4) Ejercicio propuesto \text{Demostrar que el grupo} SO(2)=\left\{M(a)=\begin{pmatrix} \cos{a} & -\sin{a} \\ \sin{a} & \cos{a} \end{pmatrix}\right\} \text{ forma un grupo de Lie con el producto ordinario de matrices.} Soluciones enviadas: Roger Balsach
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Capítulo 55: Grupos de Lie: SO(3)

(55.1) Grupo SO(3) \text{El grupo } SO(3) \text{ se define como el grupo} \{R: R^TR=\mathbb{I}, \ |R|=1\} \text{con el producto ordinario de matrices.} Demostración SO(3) es un grupo Roger Balsach
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(55.2) Generadores SO(3) B_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix} B_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} B_3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} En general, cualquier combinación lineal de
estas matrices sirven como generadores.
A_i = \sum_{j} \lambda_{ij}B_j \text{con } A_i \text{ linealmente independientes.} A_i^T = -A_i
(55.3) Relaciones de conmutación [B_i, B_j] = \varepsilon_{ijk} B_k
(55.4) Ejercicios propuestos \begin{aligned} 1) \hspace2ex &\text{Comprobar que } \\ & \hspace2ex B^2=\begin{pmatrix}(n_1^2-1) & n_1n_2 & n_1n_3\\ n_2n_1 & (n_2^2-1) & n_2n_3\\ n_3n_1 & n_3n_2 & (n_3^2-1) \end{pmatrix}\\ & \hspace2ex B^3=B \\ 2) \hspace2ex &\text{Comprobar las relaciones de}\\ & \text{conmutación } (55.3)\\ \end{aligned} Soluciones enviadas Roger Balsach
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(55.5) Rotación general R(\alpha, \vec{n}) = e^{\alpha B} = \mathbb{I}+B\sin{\alpha} +B^2 (1-\cos{\alpha}) B = \vec{n}\cdot \vec{B} = n_x B_1 + n_yB_2 + n_zB_3 |\vec{n}|^2=n_x^2+n_y^2+n_z^2=1 R(\alpha, \vec{n}) = \begin{pmatrix} \cos{\alpha} + (1-\cos{\alpha})n_1^2 & (1-\cos{\alpha})n_1n_2-n_3\sin{\alpha} & (1-\cos{\alpha})n_1n_3+n_2\sin{\alpha}\\ (1-\cos{\alpha})n_2n_1+n_3\sin{\alpha} & \cos{\alpha}+(1-\cos{\alpha})n_2^2 & (1-\cos{\alpha})n_2n_3-n_1\sin{\alpha} \\ (1-\cos{\alpha})n_3n_1-n_2\sin{\alpha} & (1-\cos{\alpha})n_3n_2+n_1\sin{\alpha} & \cos{\alpha}+(1-\cos{\alpha})n_3^2 \\ \end{pmatrix}

Capítulo 56: Álgebra de Lie

(56.1) Propiedades de
la exponencial de una matriz
(e^A)^T = e^{(A^T)} |e^A| = \det{e^A} = e^{\text{Tr}{A}} [A, B] = 0 \Longrightarrow e^Ae^B = e^{A+B}
(56.2) Generadores de SO(3) J_i = i B_i J_i^\dag = J_i [J_i, J_j] = i \varepsilon_{ijk}J_k
(56.3) Álgebra de Lie \text{Un álgebra de Lie se define como un } \mathbb{C}-\text{espacio vectorial} \text{junto con una operación } [\cdot , \cdot] \text{ que cumple las siguientes propiedades:} \begin{aligned} \text{i}) \hspace2ex & \text{Bilinealidad:} & [\lambda A+\mu B, C] = \lambda [A, C] + \mu[B, C]\\ &&[A,\lambda B+\mu C] = \lambda [A, B] + \mu[A, C]\\ \text{ii}) \hspace2ex &\text{Identidad de Jacobi:} & [[A,B],C]+[[C,A],B]+[[B,C],A] = 0\\ \text{iii}) \hspace2ex &\text{Nilpotencia:} & [A, A] = 0\\ \end{aligned} \forall A, B, C \in V, \qquad \forall \lambda,\mu \in \mathbb{C}.
(56.4) Conexión grupos y álgebras de Lie M = e^{-i a_j T^j}, \qquad a_j \in \mathbb{R} [T^a, T^b] = i f^{abc} T^c \text{Donde } f^{abc} \text{ son las constantes de estructura del grupo} \text{y } T^a \text{ los generadores del grupo.} Notación: En el espacio interno no hay diferencia
entre índices arriba y abajo.
f^{abc}=f^{ab}{}_{c}=f^a{}_{bc}=f_{abc}
(56.5) Ejercicios \begin{aligned} 1) \hspace2ex &\text{Demostrar que } |e^A|=e^{\text{Tr}\{A\}}\\ 2) \hspace2ex &\text{Demostrar que las propiedades (56.3) i) y iii) implican que } [A,B]=-[B,A]\\ 3) \hspace2ex &\text{Demostrar que el grupo de polinomios de grado 2, con el corchete}\\ & [a_1x^2+a_2x+a_3,b_1x^2+b_2x+b_3] = (a_2b_3-a_3b_2)x^2+(a_3b_1-a_1b_3)x+(a_1b_2-a_2b_1)\\ & \text{forma un álgebra de Lie.} \end{aligned} Soluciones enviadas Roger Balsach
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Rodolfo Guidobono
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Miguel Ángel Montañez
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Capítulo 57: Definición de los grupos U(1), SU(2) y SU(3)

(57.1) Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff \ln{\left(e^Ae^B\right)} = A+B+\frac{1}{2}[A,B]+\frac{1}{12}[A,[A,B]]-\frac{1}{12}[B,[A,B]]
(57.2) Matrices unitarias U^\dag U = UU^\dag = 1 U^\dag = U^{-1}
(57.3) Grupos unitarios U(1) = \{e^{i\theta}: \theta \in \mathbb{R}\} U(N) = \{e^{iB}: B^\dag = B\} SU(N) = \{e^{iB}: B^\dag = B,\ \text{Tr}\{B\}=0\}
(57.4) Grupo SU(2) B = a \frac{\sigma_1}{2} + b \frac{\sigma_2}{2} + c \frac{\sigma_3}{2} \sigma_1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}, \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \left[\frac{\sigma_i}{2}, \frac{\sigma_j}{2}\right] = i \varepsilon_{ijk}\frac{\sigma_k}{2}
(57.5) Grupo SU(3) B = a_1 \frac{\lambda_1}{2} + a_2 \frac{\lambda_2}{2} + a_3 \frac{\lambda_3}{2} + a_4 \frac{\lambda_4}{2} + a_5 \frac{\lambda_5}{2} + a_6 \frac{\lambda_6}{2} + a_7 \frac{\lambda_7}{2} + a_8 \frac{\lambda_8}{2} \left[\frac{\lambda_a}{2}, \frac{\lambda_b}{2}\right] = i f_{abc} \frac{\lambda_c}{2} f_{abc} = f_{bca} = f_{cab} = -f_{acb} f_{123} = 1, \qquad f_{147}=f_{165}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=f_{376}=\frac{1}{2},\qquad f_{458}=f_{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}
(57.6) Matrices de Gell-Mann \lambda_1 = \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad \lambda_2 = \begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad \lambda_3 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad \lambda_4 = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}, \quad \lambda_5 = \begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix} \lambda_6 = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}, \quad \lambda_7 = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}, \quad \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}
(57.7) Propiedades Matrices de Gell-Mann [\lambda_a, \lambda_b] = 2i f_{abc} \lambda_c \text{Tr}\{\lambda_a\lambda_b\}=2\delta_{ab}

Capítulo 58: Representaciones: intuición

(58.1) Representaciones de un álgebra de Lie \text{Conjunto de matrices } \{T_i\} \text{ que satisfacen} \text{las relaciones de conmutación} \text{del álgebra: } [T_i, T_j] = i f_{ijk} T_k Representaciones de un grupo de Lie \text{Conjunto de matrices, } \{T(g)\} \text{ a las que} \text{podemos asignar de forma unívoca} \text{todos los elementos del grupo: } \{g\}. \text{De forma que se conserva el producto:} T(g_1)T(g_2)=T(g_1g_2).
(58.2) Ejemplos representaciones su(2). Representación fundamental: J_1 = \frac{\sigma_1}{2},\qquad J_2 = \frac{\sigma_2}{2},\qquad J_3 = \frac{\sigma_3}{2} Representación adjunta: J_1 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0\end{pmatrix},\ J_2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0\end{pmatrix},\ J_3 = \begin{pmatrix}0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} Otras representaciones: J_1 = \frac{i}{4}[\gamma^2, \gamma^3], \qquad J_2 = \frac{i}{4}[\gamma^3, \gamma^1], \qquad J_3 = \frac{i}{4}[\gamma^1, \gamma^2] J_1 = yp_z-zp_y, \qquad J_2 = zp_x-xp_z, \qquad J_3 = xp_y-yp_x
(58.3) Vectores \text{Un conjunto de tres cantidades } (V_1, V_2, V_3) \text{ será un vector si} [J_i, V_j] = i \varepsilon_{ijk}V_k \text{Donde } J_i \text{ es una representación del álgebra su(2).}

Capítulo 59: Teoría Gauge Yang-Mills - SU(N) - Parte 1

(59.1) Cambio de notación e_a \rightarrow \left| e_a \right> \in \mathbb{C}^N \vec{v} \rightarrow \left| \psi \right> \in \mathbb{C}^N v^a \rightarrow \psi^a \in \mathbb{C} M \rightarrow U \in U(N) \Pi_{\mu a}^b \rightarrow \mathscr{A}_{\mu a}^b \in \mathbb{C}
(59.2) Cambio de Base \left| \psi \right> = \psi^a \left| e_a \right> = \psi^{a'} \left| e_{a'} \right> \left| e_{a'} \right> = U_{a'}^a \left| e_a \right> \psi^{a'}=U_{a}^{a'} \psi^a \mathscr{A}'_\mu = U \mathscr{A}_\mu U^\dag - (\partial_\mu U) U^\dag
(59.3) Derivadas \partial_\mu \left| \psi \right> = \left( D_{\mu} \psi^a \right) \left| e_a \right> D_\mu \psi^a = \partial_\mu \psi^a + \mathscr{A}_{\mu b}^a \psi^b
(59.4) Tensor de Curvatura \mathscr{F}_{\mu\nu} = \partial_\mu \mathscr{A}_{\nu}-\partial_\nu \mathscr{A}_{\mu}+\mathscr{A}_{\mu}\mathscr{A}_{\nu}-\mathscr{A}_{\nu}\mathscr{A}_{\mu} \mathscr{F}_{\mu\nu} = [D_\mu, D_\nu] \mathscr{F}'_{\mu\nu} = U \mathscr{F}_{\mu\nu} U^\dag
(59.5) Definiciones locales U(x) = e^{-i\theta_a(x)T^a} \mathscr{A}_\mu(x) = -ig A_\mu^a(x) T_a
(59.6) Transformaciones de Gauge \text{Las transformaciones de gauge son cambios de base} \text{en el espacio interno. Pueden ser} Globales: \left| e_{a'}(x) \right> = U_{a'}^a \left| e_a(x) \right> Locales: \left| e_{a'}(x) \right> = U_{a'}^a(x) \left| e_a(x) \right>

Capítulo 60: Teoría Gauge Yang-Mills - SU(N) - Parte 2

(60.1) Campo de Gauge \mathscr{A}_\mu = -ig A_\mu^a T_a La derivada covariante se escribe D_\mu \psi^a = \partial_\mu \psi^a -ig (A_\mu^c T_c)^a_b \psi^b D_\mu \psi = \partial_\mu \psi -ig A_\mu^c T_c \psi
(60.2) Tensor de Curvatura \mathscr{F}_{\mu\nu} = -ig F_{\mu\nu}^a T_a F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + g f^a{}_{bc} A_\mu^b A_\nu^c
(60.3) Lagrangiano \mathscr{L} = \frac{1}{2g^2} \text{Tr}\{\mathscr{F}_{\mu\nu}\mathscr{F}^{\mu\nu}\} \mathscr{L} = \frac{-1}{4}F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu}_a
(60.4) Ejercicio \text{Calcular } F_{\mu\nu}^a \text{ conociendo que } \mathscr{A}_\mu=-ig A_\mu^a T_a Soluciones enviadas Roger Balsach
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Seminario 1: Álgebras de Clifford y Grupos de Spin (por C.S. Shahbazi) - PARTE 1

(S1.1) Definición 1: Álgebra \text{Un Álgebra es un espacio vectorial } \mathcal{A}, \text{junto con una operación} \begin{array}{ccc}\mathcal{A}\times \mathcal{A}& \to &\mathcal{A}\\ (a,b)&\mapsto& ab\end{array} Con las siguientes propiedades: a(bc)=(ab)c \text{ (Asociativa)} a(b+c)=ab+ac \text{ (Distributiva-izquierda)} (b+c)a=ba+ca \text{ (Distributiva-derecha)} \lambda(ab)=(\lambda a)b=a(\lambda b) \text{ (Bilineal)} \exists 1_\mathcal{A}\in \mathcal{A}\quad |\quad a 1_{\mathcal{A}}=1_\mathcal{A} a = a \text{ (Unital)} \forall a, b, c \in \mathcal{A}, \qquad \lambda \in \mathbb{R} \text{ (Real)}
(S1.2) Definición 2: Morfismo de Álgebras \text{Un morfismo de Álgebras es} \text{una aplicación lineal} f:\mathcal{A}_1 \to \mathcal{A}_2 Con las propiedades: f(ab) = f(a)f(b) f(1_{\mathcal{A}_1}) = 1_{\mathcal{A}_2} Isomorfismo \text{Si la aplicación } f \text{ es invertible} \text{y la aplicación } f^{-1} \text{ es un morfismo,} \text{diremos que } \mathcal{A}_1 \text{ es isomorfo a } \mathcal{A}_2 \mathcal{A}_1 \backsimeq \mathcal{A}_2
(S1.3) Definición 3: Álgebra Divisible \text{Un Álgebra es divisible o de división cuando,} \text{para todo elemento }a\in\mathcal{A} \text{ distinto de cero,} \text{existe otro }a^{-1}\in\mathcal{A}\text{ que cumple} aa^{-1}=a^{-1}a=1_\mathcal{A}
(S1.4) Teorema 4: T. de Frobenius \text{Las únicas Álgebras (asociativas, reales)} \text{divisibles de dimensión finita son } \mathbb{R}, \mathbb{C} \text{ y } \mathbb{H}. Corolario: \text{Toda Álgebra de Clifford es isomorfa a} \text{un Álgebra matricial sobre } \mathbb{R}, \mathbb{C} \text{ o } \mathbb{H}.
(S1.5) Definición 5: Espacio Vectorial Cuadrático \text{Un Espacio Vectorial Cuadrático} \text{es una pareja } (V,h)\text{. Con } V \text{ un espacio} \text{vectorial real y }h: V \times V \to \mathbb{R} \text{ una aplicación bilineal con} h(v_1,v_2)=h(v_2,v_1)\quad \forall v_1,v_2\in V h(v,u)=0 \quad\forall u\in V \Longleftrightarrow v=0
(S1.6) Definición 6: Morfismo de EV Cuadrático \text{Un morfismo de espacios vectoriales} \text{cuadráticos es una aplicación lineal } f \begin{array}{cccc} f:&(V_1,h_1)&\to &(V_2,h_2) \\ &v_1&\mapsto &v_2 \end{array} Con la propiedad h_2(f(v_1),f(v_2))=h_1(v_1,v_2), \quad \forall v_1, v_2 \in V_1
(S1.7) Definición 7: Grupo Ortogonal \text{Dado un espacio vectorial cuadrático } (V,h) \text{se define el grupo ortogonal } O(V,h) \text{ como} O(V,h)=\left\{f:(V,h)\to (V,h) \text{ isomorfismos} \right\} \text{con la composición de aplicaciones.}
(S1.8) Definición 8: Determinante \text{El determinante se define como} \text{una aplicación entre Álgebras} \begin{array}{cccc} \det\!:&\text{End}(V)&\to &\mathbb{R} \\ &T&\mapsto &\det{(T)} \end{array} \text{que preserva la estructura de producto:} \det{(T_1 T_2)} = \det{(T_1)}\det{(T_2)} \text{Si restringimos el determinante al grupo} \text{ortogonal } O(V,h)\subset \text{End}(V) \text{el determinante solo toma los valores } 1 \text{ y } -1. \det\!: O(V,h) \to \mathbb{Z}_2
(S1.9) Definición 9: Grupo Ortogonal Especial \text{El grupo ortogonal especial } SO(V,h) \text{ se define como} SO(V,h)=\{T\in O(V,h) | \det(T)=1\}
(S1.10) Definición 10: Álgebra de Clifford \text{Un Álgebra de Clifford asociada a un EV cuadrático } (V,h) \text{es un par } (\mathcal{A}, j) \text{ con } \mathcal{A} \text{ un Álgebra y } j:(V,h)\to \mathcal{A} \text{una aplicación lineal inyectiva con propiedades:} 1_{\mathcal{A}}\notin \text{Im}(j) j(v)^2 = q(v) 1_\mathcal{A}, \quad q(v)=h(v,v) j(V)=\text{Im}(j) \text{ genera } \mathcal{A}

Capítulo 61: FOTÓN Gauge - U(1) - Parte 1

(61.1) Gauge U(1) U = e^{-i\theta(x)} \ket{e_{a'}} = e^{-i\theta(x)}\delta_{a'}^a \ket{e_a} \psi'=e^{i\theta(x)}\psi D_\mu \psi = \partial_\mu \psi - ig A_\mu \psi A_\mu'=A_\mu - \frac{1}{g}\partial_\mu \theta F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu F_{\mu\nu}' = F_{\mu\nu}
(61.2) Acción Electromagnetismo \mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} S[A_\mu] = \int \mathscr{L} \,\text{d}^4{x} = -\frac{1}{4}\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \,\text{d}^4{x} Ecuaciones de movimiento \delta S = S[A_\mu + \delta A_\mu] - S[A_\mu] = \varepsilon \partial_\mu F^{\mu\nu} \frac{\delta S[A_\mu(x)]}{\delta A_\nu(y)}=\partial_\mu F^{\mu \nu}=0
(61.3) Ejercicio \text{Calcular } [D_\mu, D_\nu] \text{ conociendo que } D_\mu=\partial_\mu - ig A_\mu Soluciones enviadas Roger Balsach
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Rodolfo Guidobono
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Miguel Ángel Montañez
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Capítulo 62: Ecuaciones de Maxwell

(62.1) Campos eléctrico y magnético \vec{E}=-\vec{\nabla}V-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \vec{B} = \vec{\nabla}\times \vec{A} En componentes: E^i=-\partial_i A^0-\partial_0 A^i B^i = \varepsilon_{ijk} \partial_j A^k
(62.2) Ecuaciones de Maxwell homogéneas \partial^{\mu}F^{\alpha\beta}+\partial^{\alpha}F^{\beta\mu}+\partial^{\beta}F^{\mu\alpha}=0 \vec{\nabla}\cdot \vec{B} = 0 \vec{\nabla}\times \vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} En componentes: \partial_i B^i = 0 \varepsilon_{ijk}\partial_j E^k = -\partial_0 B^i
(62.3) Ecuaciones de Maxwell inhomogéneas
en ausencia de cargas
\partial_\mu F^{\mu\nu}=0 \vec{\nabla}\cdot \vec{E}=0 \vec{\nabla}\times \vec{B}-\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0 En componentes: \partial_i E^i = 0 \varepsilon_{ijk}\partial_j B^k - \partial_0 E^i = 0
(62.4) Ejercicios \begin{aligned} 1) \hspace2ex &\text{Expresar } \partial_\mu F^{\mu 2} \text{ y }\partial_\mu F^{\mu 3} \text{ en función de } E \text{ y } B.\\ 2) \hspace2ex &\text{Calcular las ecuaciones de Maxwell homogéneas.} \end{aligned} Soluciones enviadas Roger Balsach
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Seminario 2: Álgebras de Clifford y Grupos de Spin (por C.S. Shahbazi) - PARTE 2

(S2.1) Definición: Morfismo de Álgebras de Clifford \text{Dadas dos Álgebras de Clifford; } (\mathcal{A}, j) \text{ asociada al espacio} \text{vectorial cuadrático } (V, h) \text{ y } (\mathcal{A}', j') \text{ asociada al espacio} \text{vectorial cuadrático } (V', h') \text{ se define un morfismo de Álgebras} \text{de Clifford como la pareja } (f, f_0), \text{ con las propiedades:} f_0: (V,h) \to (V', h') \text{ es un morfismo de espacios vectoriales cuadráticos.} f: \mathcal{A} \to \mathcal{A}' \text{ es un morfismo de Álgebras.} \begin{CD} \mathcal{A} @>f>> \mathcal{A}' \\ @AjAA @AAj'A \\ V @>f_0>> V' \end{CD} (f \circ j)(v) = (j' \circ f_0)(v) \qquad \forall v \in V
(S2.2) Definición: Isomorfismo de Álgebras de Clifford \text{Un morfismo } (f, f_0) \text{ es un isomorfismo si} f \text{ y } f_0 \text{ son isomorfismos.} \text{Si existe un isomorfismo entre } (\mathcal{A}, j) \text{ y } (\mathcal{A}', j') \text{ escribimos} (\mathcal{A}, j) \backsimeq (\mathcal{A}', j')
(S2.3) Definición: Álgebra de Clifford Universal \text{Un Álgebra de Clifford } (\mathcal{A}, j) \text{ es universal si:} \text{Para todo espacio vectorial cuadrático } (V', h'), \text{ toda} \text{Álgebra } (\mathcal{A}', j') \text{ y todo morfismo } T: (V,h) \to (V', h'), \text{existe un morfismo } \bar{T}: \mathcal{A} \to \mathcal{A}' \text{ tal que } (\bar{T}, T) \text{es un morfismo de Álgebras de Clifford.}
(S2.4) Proposición \text{Sean } (\mathcal{A}, j) \text{ y } (\mathcal{A}', j') \text{ Álgebras de Clifford,} \text{y } T \text{ un morfismo de EV cuadráticos.} \text{Si existe un morfismo } \bar{T}, \text{ tal que } (\bar{T}, T) \text{ es un} \text{morfismo de Álgebras de Clifford, entonces } \bar{T} \text{ es único.} Corolario: \text{Sean } (\mathcal{A}, j), (\mathcal{A}', j') \text{ Álgebras de Clifford universales,} \text{entonces } (\mathcal{A}, j) \backsimeq (\mathcal{A}', j')
(S2.5) Teorema \text{Sea } (V,h) \text{ un espacio vectorial cuadrático.} \text{Existe una única Álgebra de Clifford universal:} C\ell (V,h)
(S2.6) Definición \text{Sea } C\ell(V,h), \text{ y } \{e_i\}_{i=1}^d \text{ una base ortonormal de } V, \text{definimos el conjunto } P_{\{e_i\}}\sub C\ell(V,h) \text{ como} P_{\{e_i\}}=\{1_{\mathcal{A}}\} \cup \{e_i\} \cup \{e_ie_j\}_{i < j} \cup \cdots \cup \{e_1\cdots e_d\}
(S2.7) Proposición \text{Si } (\mathcal{A}, j) \text{ es un Álgebra de Clifford asociada a } (V,h). \text{Entonces, }\mathcal{A} = \text{Span}\{P_{\{e_i\}}\}. \text{Además, si los elementos de } P_{\{e_i\}} \text{ son linealmente} \text{independientes, }\mathcal{A} \text{ es un Álgebra universal.} Corolario: \text{Sea } (\mathcal{A}, j) \text{ un Álgebra asociada a } (V, h) \text{ con } \dim{V}=d. \text{Entonces, si } \dim{\mathcal{A}}=2^d,\ \mathcal{A} \text{ es universal.}

Capítulo 63: Función de Green del Campo Electromagnético

(63.1) Ecuaciones del movimiento. Espacio de Fourier. -k_\mu k^\mu \hat{A}^\nu + k_\mu k^\nu \hat{A}^\mu = \hat{g}^\nu \begin{pmatrix} k^2 - k_0^2 & -k_0k_1 & -k_0k_2 & -k_0k_3 \\ k_1k_0 & k^2 + k_1^2 & k_1k_2 & k_1k_3 \\ k_2k_0 & k_2k_1 & k^2 + k_2^2 & k_2k_3 \\ k_3k_0 & k_3k_1 & k_3k_2 & k^2 + k_3^2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{A}^0 \\ \hat{A}^1 \\ \hat{A}^2 \\ \hat{A}^3 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} \hat{g}^0 \\ \hat{g}^1 \\ \hat{g}^2 \\ \hat{g}^3 \end{pmatrix} \det{M} = (k^2)^3 (k^2-k_0^2+k_1^2+k_2^2+k_3^2)=0
(63.2) Gauge de Lorenz \partial_\mu A^\mu = 0 \Longrightarrow k_\mu \hat{A}^\mu = 0 Las ecuaciones de movimiento se convierten en -k^2 \hat{A}^\nu = \hat{g}^\nu \begin{pmatrix} -k^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -k^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -k^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -k^2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{A}^0 \\ \hat{A}^1 \\ \hat{A}^2 \\ \hat{A}^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \hat{g}^0 \\ \hat{g}^1 \\ \hat{g}^2 \\ \hat{g}^3 \end{pmatrix} \det{M} = (k^2)^4 \neq 0
(63.3) Función de Green \hat{G}_{\mu\nu} = \frac{-g_{\mu\nu}}{k^2} G_{\mu\nu}(x-x') = \int \frac{-g_{\mu\nu}}{k^2 + i \varepsilon} e^{-ik(x-x')}\frac{\,\mathrm{d}^4 x}{(2\pi)^4}
(63.4) Ejercicios \text{Demostrar que el campo magnético es invariante gauge.} Soluciones enviadas Roger Balsach
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Rodolfo Guidobono
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Capítulo 64: Soluciones de Onda Plana en el Gauge de LORENZ

(64.1) Solución Ondas Planas \vec{E} = E_0 \hat{n} \cos{kx}, \vec{B} = E_0 (\hat{k}\times \hat{n})\cos{kx} Con: kx = \omega t - k_x x - k_y y - k_z z \omega = |\vec{k}| = \sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2} \vec{k}\cdot \hat{n} = 0
(64.2) Potencial. Gauge de Lorenz A^\mu = \begin{pmatrix} 0\\ a \sin{kx}\\ b \sin{kx}\\ c \sin{kx} \end{pmatrix} Con: E_0 = \omega \sqrt{a^2+b^2+c^2} \hat{n} = \frac{\begin{pmatrix}-a\omega, &-b\omega, &-c\omega \end{pmatrix}}{\omega \sqrt{a^2+b^2+c^2}}
(64.3) Otros potenciales en el gauge de Lorenz A'_\mu = A_\mu - \frac{1}{g}\partial_\mu \theta \partial^\mu A_\mu' = 0 \Longleftrightarrow \partial^\mu \partial_\mu \theta = 0
(64.4) Ejercicios \text{Calcular el rotacional del campo eléctrico.} Soluciones enviadas Roger Balsach
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Capítulo 65: Polarización de un fotón

(65.1) Potencial electromagnético \underline{A} = \begin{pmatrix}0\\\vec{a}\end{pmatrix}\sin{(kx)} - g(kx) \underline{k} \underline{A} = \begin{pmatrix}b^0\\\vec{b}\end{pmatrix}\sin{(kx)} Con: \underline{b}\cdot \underline{k} = b_\mu k^\mu = 0 \underline{b}^2 = b_\mu b^\mu < 0 |\vec{n}|=\omega \sqrt{|\underline{b}^2|}
(65.2) Expansión en ondas planas \underline{A} = \sum_r \left[c^r \underline{\varepsilon}_r e^{-ikx}+c^{r*} \underline{\varepsilon}^*_r e^{ikx} \right] \varepsilon_r^* \varepsilon_{s} = g_{rs} \sum_{r=0}^3 \xi_r \varepsilon_r^\mu \varepsilon_r^{* \nu} = g^{\mu\nu} Demostración relación de completitud: Roger Balsach
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(65.3) Bases de polarización
Polarización lineal
\varepsilon_0 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\ \varepsilon_1 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix},\ \varepsilon_2 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\ \varepsilon_3 = \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} Polarización circular \varepsilon_0 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\ \varepsilon_+ = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\-1\\-i\\0\end{pmatrix},\ \varepsilon_- = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\\-i\\0\end{pmatrix},\ \varepsilon_3 = \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}
(65.4) Ejercicios \begin{aligned} 1) \hspace2ex &\text{Usando los potenciales } \underline{A} = \underline{b}\sin{(kx)},\ \underline{A} = \underline{b}\cos{(kx)}\text{, calcular } \vec{E} \text{ y } \vec{B}.\\ 2) \hspace2ex &\text{Partiendo de la expresión } \underline{A} = \begin{pmatrix}\beta&b^1 &b^2 & \beta \end{pmatrix}\sin{(kx)}, \\ &\text{ demostrar la ecuación 65.2 para polarización lineal.}\\ 3) \hspace2ex &\text{Partiendo de la expresión } \underline{A} = \begin{pmatrix}\alpha^0\\-\frac{E_0}{\omega} \\0 \\ \alpha^0 \end{pmatrix}\sin{(kx)} + \begin{pmatrix}\beta^0\\0 \\\frac{E_0}{\omega} \\ \beta^0 \end{pmatrix}\cos{(kx)},\\ &\text{demostrar la ecuación 65.2 para la polarización circular.} \end{aligned} Soluciones enviadas Roger Balsach
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Rodolfo Guidobono
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Miguel Ángel Montañez
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Markell 11
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Capítulo 66: Cuantización del campo de KLEIN-GORDON

(66.1) Corchetes de Poisson \{\phi(t, \vec{x}), \pi(t,\vec{y})\} = \delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y}) \{\phi(t, \vec{x}), \phi(t,\vec{y})\} = 0 \{\pi(t, \vec{x}), \pi(t,\vec{y})\} = 0 \{a(\vec{k}), a^*(\vec{q})\} = -i(2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec{k}-\vec{q})
(66.2) Notación del Peskin \phi(t,\vec{x})=\int \frac{1}{\sqrt{2\omega_k}}\left(a(\vec{k})e^{-ikx}+a^*(\vec{k})e^{ikx}\right)\frac{\mathrm{d}^3{k}}{(2\pi)^3} \pi(t,\vec{x})=\int \frac{-i\omega_k}{\sqrt{2\omega_k}}\left(a(\vec{k})e^{-ikx}-a^*(\vec{k})e^{ikx}\right)\frac{\mathrm{d}^3{k}}{(2\pi)^3}
(66.3) Cuantización de una teoría \{A,B\}=C \rightarrow [A,B]=i(\hbar) C A^* \rightarrow A^\dag
(66.4) Cuantización de Klein-Gordon \left[\phi(t, \vec{x}), \pi(t,\vec{y})\right] = i\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y}) \left[a(\vec{k}), a^\dag(\vec{q})\right] = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec{k}-\vec{q})
(66.5) Conmutador campo de Klein-Gordon [\phi(x^0,\vec{x}), \phi(y^0, \vec{y})] = \int \frac{1}{2\omega_k} \left(e^{ik(y-x)}-e^{-ik(y-x)}\right)\frac{\mathrm{d}^3 k}{(2\pi)^3} [\phi(x^0,\vec{x}), \phi(y^0, \vec{y})] = 0 \qquad (y-x)^2<0
(66.6) Ejercicios \begin{aligned} 1) \hspace2ex &\text{Demostrar los corchetes de Poisson } \{\phi(t, \vec{x}), \phi(t,\vec{y})\} = \{\pi(t, \vec{x}), \pi(t,\vec{y})\} = 0 \\ 2) \hspace2ex &\text{Demostrar } \int \frac{1}{2\omega_k}\mathrm{d}^3 k = \int \delta(\omega^2-|\vec{k}|^2-m^2)\theta(\omega)\mathrm{d}^4 k \end{aligned} Soluciones enviadas Roger Balsach
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Rodolfo Guidobono
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Rodolfo Guidobono (adicional)
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Miguel Ángel Montañez
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Capítulo 67: Conmutador de los Campos. Principio de Heisenberg

(67.1) Conmutador campo de Klein-Gordon para $(y-x)^2>0$ [\phi(0,\vec{0}), \phi(t, \vec{0})] = \frac{i}{4}\left[H_0^{(2)}(mt)-H_0^{(2)}(-mt)\right] \text{Para } y^0 > x^0: [\phi(x), \phi(y)] = \frac{i}{4}\left[H_0^{(2)}(m\sqrt{(y-x)^2})-H_0^{(2)}(-m\sqrt{(y-x)^2})\right] Con: H_0^{(2)}(\beta) = \frac{i}{\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\beta \cosh{\eta}} \mathrm{d}\eta
(67.2) Principio de incertidumbre \sigma_{\phi(x)}\cdot \sigma_{\phi(y)} \geq \begin{cases}0 & (y-x)^2 < 0 \\ \frac{1}{2}\left|f\left(m\sqrt{(y-x)^2}\right)\right| & (y-x)^2 > 0\\\end{cases} Con: f(x) = \frac{1}{4}\left(H_0^{(2)}(x)-H_0^{(2)}(-x)\right)
(67.3) Ejercicios \begin{aligned} 1) \hspace2ex &\text{Solucionar el sistema de ecuaciones } \left\{\begin{matrix}t\cosh{\eta} + x \sinh{\eta}=0\\t\sinh{\eta} + x \cosh{\eta}=x'\end{matrix}\right.\\ 2) \hspace2ex &\text{Solucionar el sistema de ecuaciones } \left\{\begin{matrix}t\cosh{\eta} + x \sinh{\eta}=t'\\t\sinh{\eta} + x \cosh{\eta}=0\end{matrix}\right.\\ 3) \hspace2ex &\text{Dados } A \text{ y } B \text{ operadores hermíticos, demostrar que } [A,B] \text{ es antihermítico.} \end{aligned} Soluciones enviadas Roger Balsach
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Rodolfo Guidobono
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Stefano Cardoza
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Miguel Ángel Montañez
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Capítulo 68: Espacio de Hilbert de Klein-Gordon

(68.1) Hamiltoniano Klein-Gordon H = \int \omega_k \left(a^\dag(\vec{k})a(\vec{k}) + \frac{V}{2}\right) \frac{\mathrm{d}^3 k}{(2\pi)^3} H = E_0 + \int \omega_k a^\dag a \frac{\mathrm{d}^3 k}{(2\pi)^3}
(68.2) Ordenación normal :H: = H - E_0 = \int \omega_k a^\dag a \frac{\mathrm{d}^3 k}{(2\pi)^3}
(68.3) Espacio de Fock a(\vec{k})\ket{0} = 0, \qquad \forall \vec{k}\in \mathbb{R}^3 \ket{\vec{k}_i} = a^\dag (\vec{k}_i) \ket{0} \ket{\vec{k},\vec{q}} = a^\dag (\vec{k})a^\dag(\vec{q}) \ket{0} = a^\dag (\vec{q})a^\dag(\vec{k}) \ket{0}
(68.4) Normalización estados \braket{\vec{k} \vert \vec{q}} = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec{k}-\vec{q}) \braket{\vec{k}_1\vec{k}_2 \vert \vec{q}_1\vec{q}_2} = (2\pi)^6 \left[\delta^{(3)}(\vec{k}_1-\vec{q}_1)\delta^{(3)}(\vec{k}_2-\vec{q}_2) +\delta^{(3)}(\vec{k}_1-\vec{q}_2)\delta^{(3)}(\vec{k}_2-\vec{q}_1)\right]
(68.5) Ejercicio \text{Calcular la normalización del producto } \braket{\vec{k}_1\vec{k}_2 \vert \vec{q}_1\vec{q}_2 } Soluciones enviadas Roger Balsach
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Capítulo 69: Efecto Unruh - Producto interno de KG

(69.1) Soluciones complejas de KG \partial_\mu \partial^\mu f + m^2 f = 0 \partial_\mu (f^* \partial^\mu f - f \partial^\mu f^*) = 0 f(x) \in \mathbb{C}
(69.2) Producto interno de KG.
Coordenadas de Minkowski
(f, g)_{KG} = i \int (f^*\partial_t g - g \partial_t f^*) \mathrm{d}^3x \partial_t (f, g)_{KG} = 0 (f, f)_{KG} \in \mathbb{R} (f, g)_{KG} \text{ es invariante Lorentz}
(69.3) Formulación covariante KG S = \int \frac{\sqrt{-g}}{2}\left(\nabla_\mu f \nabla^\mu f - m^2 f^2\right) \mathrm{d}^4 x \frac{\delta S}{\delta f} = 0 \Longrightarrow \nabla_\mu \nabla^\mu f + m^2 f=0 \nabla_\mu \left(f^* \nabla^\mu f - f \nabla^\mu f^*\right) = 0
(69.4) Producto interno covariante \text{Sea } n \text{ un cuadrivector ortogonal al espacio que apunta hacia el futuro.} n^2 = n_\mu n^\mu = +1 J^0 = n\cdot J = n_\mu J^\mu (f, g)_{KG} = i \int n_\mu (f^* \nabla^\mu g - g \nabla^\mu f^*) \sqrt{|h|}\mathrm{d}^3 x
(69.5) Producto interno.
Coordenadas de Rindler
\mathrm{d}s^2 = X^2 \mathrm{d}T^2 - \mathrm{d}X^2 \Longrightarrow |h|=1 n = \frac{1}{X}e_T n\cdot e_X = 0, \qquad n\cdot e_T > 0, \qquad n^2=1 (f, g)_{KG} = i \int \frac{1}{X} (f^*\partial_T g - g \partial_T f^*) \mathrm{d}X
(69.6) Ejercicios \begin{aligned} 1) \hspace2ex &\text{Calcular las ecuaciones de movimiento de la}\\ &\text{acción covariante de Klein-Gordon.}\\ 2) \hspace2ex &\text{Calcular la ecuación de continuidad covariante.}\\ \end{aligned} Soluciones enviadas Roger Balsach
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Capítulo 70: Base ortonormal en coordenadas de Minkowski

(70.1) Soluciones complejas de Klein-Gordon f_k(t, \vec{x}) = F_k e^{-i\omega_k t + i \vec{k}\cdot \vec{x}} f^*_k(t, \vec{x}) = F^*_k e^{i\omega_k t - i \vec{k}\cdot \vec{x}} \omega_k = \sqrt{\vec{k}^2+m^2}
(70.2) Producto interno de las soluciones (f_k, f_q) = (\omega_q F_k^*F_q + \omega_qF_qF^*_k)e^{i(\omega_k-\omega_q)t}(2\pi)\delta^{(3)}(\vec{k}-\vec{q}) = 4\pi \omega_k|F_k|^2\delta^{(3)}(\vec{k}-\vec{q}) Podemos fijar la normalización F_k = \frac{1}{\sqrt{4\pi \omega_k}}
(70.3) Base ortonormal f(t, \vec{x}) = \frac{1}{\sqrt{4\pi \omega_k}} e^{-i\omega_k t + i \vec{k}\cdot \vec{x}} f^*_k(t, \vec{x}) = \frac{1}{\sqrt{4\pi \omega_k}} e^{i\omega_k t - i \vec{k}\cdot \vec{x}} (f_k, f_q) = \delta^{(3)}(\vec{k}-\vec{q}) (f^*_k, f^*_q) = -\delta^{(3)}(\vec{k}-\vec{q}) (f_k, f^*_q) = 0
(70.4) Campo escalar \phi(t, \vec{x}) = \int (c_k f_k(t, \vec{x}) + c_k^*f_k^*(t, \vec{x}))\mathrm{d}^3 \vec{k} c_k = (f_k, \phi), \qquad c_k^* = -(f_k^*, \phi)
(70.5) Campo escalar II \text{Sean } g_{\Omega} \text{ soluciones de la ecuación de Klein-Gordon con energía } \Omega. (\nabla_\mu \nabla^\mu + m^2)g_\Omega = 0 i \partial_T g_\Omega = \Omega g_\Omega \phi = \int (d_\Omega g_\Omega + d^*_\Omega g_\Omega^*) \mathrm{d}\Omega

Capítulo 71: KLEIN-GORDON - Coordenadas Curvilíneas

(71.1) Coordenadas conformes t = e^X \sinh{T}, \quad x = e^X \cosh{T} \mathrm{d}s^2=\mathrm{d}t^2- \mathrm{d}x^2 = e^{2X}\left(\mathrm{d}T^2-\mathrm{d}X^2\right) \Gamma_{TT}^T = \Gamma_{TX}^X = \Gamma_{XT}^X =\Gamma_{XX}^T=0 \Gamma_{XT}^T = \Gamma_{TX}^T = \Gamma_{XX}^X=\Gamma_{TT}^X=1
(71.2) Derivadas covariantes \nabla_T A^T = \partial_T A^T + A^X, \qquad \nabla_X A^X =\partial_X A^X + A^X \nabla_T \nabla^T f = \partial_T \partial^T f + \partial^X f, \qquad \nabla_X \nabla^X f = \partial_X \partial^X f + \partial^X f \nabla_\mu \nabla^\mu f = \partial_T \partial^T f + \partial_X \partial^X f + 2 \partial^X f
(71.3) Ecuación de Klein-Gordon \partial_T^2 \phi -\partial_X^2\phi + e^{2X}m^2\phi = 0 S[\phi] = \frac{1}{2}\int \left((\partial_T \phi)^2 - (\partial_X\phi)^2-e^{2X}m^2\phi^2\right)\mathrm{d}X\mathrm{d}T
(71.4) Coordenadas del cono de luz u = T-X , \qquad v=T+X \mathrm{d}s^2=e^{v-u}\mathrm{d}u\mathrm{d}v
(71.5) Ejercicios \begin{aligned} 1) \hspace2ex &\text{Calcular la conexión en las coordenadas conformes.}\\ 2) \hspace2ex &\text{Demostrar la ecuación } \partial_t^2-\partial_x^2 = e^{-2X}(\partial_T^2 - \partial_X^2)\\ 3) \hspace2ex &\text{Demostrar la ecuación } (\partial_t\phi)^2-(\partial_x\phi)^2 = e^{-2X}((\partial_T\phi)^2 - (\partial_X\phi)^2)\\ \end{aligned} Soluciones enviadas Roger Balsach
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Miguel Ángel Montañez
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Capítulo 72: Transformación de BOGOLIUBOV

(72.1) Transformaciones de Bogoliubov b_q = \int \left(\alpha_{qk}^* a_k - \beta_{qk}^*a^\dag_k\right) \mathrm{d}k b_q^\dag = \int \left(\alpha_{qk} a^\dag_k - \beta_{qk}a_k\right) \mathrm{d}k Donde \alpha_{qk} = (f_k, h_q), \qquad \beta_{qk}=-(f_k^*, h_q) \int \left(\alpha_{pk}^*\alpha_{qk}-\beta_{pk}^*\beta_{qk}\right)\mathrm{d}k = \delta(p-q)
(72.2) Relaciones Producto Interno (f, g)_{KG}^* = -(f^*, g^*)_{KG} (f, g)_{KG} = -(g^*, f^*)_{KG}
(72.3) Efecto Unruh \bra{0_M} b_k^\dag b_k \ket{0_M} = \int |\beta_{kq}|^2 \mathrm{d}q
(72.4) Ejercicios \begin{aligned} 1) \hspace2ex &\text{Demostrar la relación } [a_k, a_q^\dag] = \delta(k-q).\\ 2) \hspace2ex &\text{Demostrar las fórmulas 72.2}\\ \end{aligned} Soluciones enviadas Roger Balsach
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Capítulo 73: TEMPERATURA Unruh vs Hawking

(73.1) Coeficientes de Bogoliubov \text{Para el caso } m=0: \alpha_{pk} = \frac{1}{4\pi \sqrt{pk}} I(p,k) \beta_{pk} = \frac{-1}{4\pi \sqrt{pk}} I(p,-k) I(p,k)=\int_{-\infty}^\infty (p+ke^x)e^{ipx-ike^x}\mathrm{d}x \\\hspace16ex= \left(\frac{1}{ik}\right)^{ip}\int_0^{i\infty} (px^{ip-1}-ix^{ip})e^{-x}\mathrm{d}x \alpha_{pk} = -e^{p\pi}\beta_{pk}
(73.2) Densidad de partículas \bra{0_M} N_p \ket{0_M} = \int_{-\infty}^\infty |\beta_{pk}|^2 \mathrm{d}k V = \int_{-\infty}^\infty (e^{2p\pi}-1)|\beta_{pk}|^2\mathrm{d}k \braket{n_p} = \frac{\braket{N_p}}{V} = \frac{\bra{0_M} n_p \ket{0_M}}{V} = \frac{1}{e^{2p\pi}-1}
(73.3) Temperatura de Unruh \braket{n_p} = \frac{1}{e^{\frac{2\pi E_pc}{\hbar a}}-1} Distribución de Bose-Einstein para spin 0: \braket{n_p} = \frac{1}{e^{\frac{E_p}{k_BT}}-1} T_{\mathrm{Unruh}}=\frac{a\hbar}{2\pi c k_B}
(73.4) Temperatura de Hawking \text{En un agujero negro: } a \to \frac{c^4}{4GM} T_{\mathrm{Unruh}} \to \frac{\hbar c^3}{8\pi GMk_B}=T_{\mathrm{Hawking}}
(73.5) Ejercicio \text{Calcular el coeficiente } \beta_{pk} \text{ en las coordenadas de Rindler.} Soluciones enviadas Roger Balsach
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Rodolfo Guidobono
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Miguel Ángel Montañez
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Capítulo 74: Propagador de Feynman KG

(74.1) Función de correlación (a 2 puntos) \bra{0} \phi(x)\phi(y) \ket{0} = \int \frac{1}{2\omega_k}e^{-ik(x-y)}\frac{\mathrm{d}k}{2\pi} Generalización a 3 dimensiones \langle 0 | \phi(x)\phi(y) | 0 \rangle = \int \frac{1}{2\omega_k}e^{-ik(x-y)}\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}
(74.2) Propagador de Feynman \Delta_F = -i G_F = \begin{cases}\bra{0} \phi(x)\phi(y) \ket{0}& x^0>y^0 \\ \bra{0} \phi(y)\phi(x) \ket{0} & y^0 > x^0\end{cases} \Delta_F = \theta(x^0-y^0)\bra{0} \phi(x)\phi(y) \ket{0} + \theta(y^0-x^0)\bra{0} \phi(y)\phi(x) \ket{0}

Capítulo 75: Funciones Correlación - Teorema de Wick

(75.1) Ordenación temporal T\{\phi(x)\phi(y)\}=\theta(x^0-y^0)\phi(x)\phi(y) + \theta(y^0-x^0)\phi(y)\phi(x) \Delta_F(x-y)=\bra{0} T\{\phi(x)\phi(y)\}\ket{0} = \int \frac{ie^{-ik(x-y)}}{k^2-m^2+i\varepsilon} \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2\pi)^4}
(75.2) Operador creación y aniquilación.
Espacio de posiciones
\phi^+(x)=\int \frac{1}{\sqrt{2\omega_k}}a_k e^{-ikx}\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \phi^-(x)=\int \frac{1}{\sqrt{2\omega_k}}a^\dagger_k e^{ikx}\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \phi(x) = \phi^+(x) + \phi^-(x) \phi^+(x)\ket{0} = 0, \quad \bra{0}\phi^-(x) = 0
(75.2) Ordenación normal N[\phi(x)\phi(y)] = \phi^-(x)\phi^-(y)+\phi^-(x)\phi^+(y)+\phi^+(x)\phi^+(y)+\phi^-(y)\phi^+(x) \phi(x)\phi(y) = N[\phi(x)\phi(y)] + [\phi^+(x), \phi^-(y)] \bra{0}N[\phi(x)\phi(y)] \ket{0} = 0
(75.3) Teorema de Wick para ordenación temporal

(75.4) Diagramas de Feynman \begin{alignat*}{1} \bra{0}T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\phi(x_4)\}\ket{0} = & \Delta_F(x_1-x_2)\Delta_F(x_3-x_4) + \\ & \Delta_F(x_1-x_3)\Delta_F(x_2-x_4) + \\ & \Delta_F(x_1-x_4)\Delta_F(x_2-x_3) \\ \end{alignat*}

Capítulo 76: Imagen de Interacción

(76.1) Evolución unitaria de un operador \begin{alignat*}{1} e^{xA}Be^{-xA} = & B + [A,B]x + \frac{1}{2!}[A,[A,B]]x^2\\ & + \frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]]x^3 + \cdots \end{alignat*}
(76.2) Imagen (representación) de Schrödinger \ket{\psi(t)}_S = e^{-itH_S}\ket{\psi(0)} U_S(t, t') = e^{-i(t-t')H_S} A_S(t) = A_S(0) i\partial_t \ket{\psi(t)}_S = H_S\ket{\psi(t)}_S
(76.3) Imagen (representación) de Heisenberg \ket{\psi(t)}_H = e^{itH_S}\ket{\psi(t)}_S = \ket{\psi(0)} U_H(t, t') = 1 A_H(t) = e^{itH_S}A_S e^{-itH_S}
(76.4) Imagen (representación) de interacción o de Dirac H = H_0 + H' \ket{\psi(t)}_I = e^{itH_{0,S}}\ket{\psi(t)}_S = e^{itH_{0,S}}e^{-itH_{S}}\ket{\psi(0)} U_I(t, t') = e^{itH_{0,S}}e^{-i(t-t')H_S}e^{-it'H_{0,S}} A_I(t) = e^{itH_{0,S}}A_Se^{-itH_{0,S}} = e^{itH_{0,S}}e^{-itH_{S}}A_H(t)e^{itH_{S}}e^{-itH_{0,S}} i\partial_t \ket{\psi(t)}_I = H'_I\ket{\psi(t)}_I
(76.5) Ejercicios \begin{aligned} 1) \hspace2ex &\text{Demostrar la relación } \phi(t, \vec{x}) = e^{it H} \phi(0, \vec{x})e^{-it H}\\ 2a) \hspace2ex &\text{Demostrar que } \ket{\psi(t)}_I = e^{itH_{0,S}}e^{-i(t-t')H_S}e^{-it'H_{0,S}}\ket{\psi(t')}_I\\ 2b) \hspace2ex &\text{Comprobar la ecuación de Schrödinger: } i\partial_t U(t,t') = H'_I U(t,t')\\ 2c) \hspace2ex &\text{Comprobar que los operadores evolución temporal forman un grupo.}\\ \end{aligned} Soluciones enviadas Roger Balsach
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Capítulo 77: Función correlación. Self-interaction

(77.1) Evolución temporal i\partial_t U_I(t, t') = H_I'(t)U_I(t, t') U_I(t, t') = T\left\{e^{-i\int_{t'}^t H_I'(\tau)\mathrm{d}\tau}\right\}
(77.2) Estado fundamental \ket{\Omega} = \lim_{t\to \infty(1-i\varepsilon)}\frac{U_I(0,-t)\ket{0}}{\braket{\Omega \vert 0} e^{-iE_0 t}} \bra{\Omega} = \lim_{t\to \infty(1-i\varepsilon)}\frac{\bra{0}U_I(t,0)}{\braket{0 \vert \Omega} e^{-iE_0 t}} \lim_{t\to \infty(1-i\varepsilon)}\frac{\braket{0\vert U_I(t, -t)\vert 0}}{|\braket{0\vert \Omega}|^2 e^{-2iE_0 t}} = 1
(77.3) Función de correlación \bra{\Omega} \phi(x)\phi(y) \ket{\Omega} = \frac{\bra{0}U_I(\infty,0)\phi(x)\phi(y)U_I(0,-\infty)\ket{0}}{\bra{0}U_I(\infty,-\infty)\ket{0}} \bra{\Omega} T\{\phi(x)\phi(y)\} \ket{\Omega} = \frac{\bra{0}T\{\phi_I(x)\phi_I(y)U_I(\infty,-\infty)\}\ket{0}}{\bra{0}U_I(\infty,-\infty)\ket{0}}
(77.4) Ejercicios \begin{aligned} 1) \hspace2ex &\text{Demostrar la relación } U_I(t, t') = 1 - i\int_{t'}^t H_I'(t_1)\mathrm{d}t_1 + (- i)^2\int_{t'}^t\int_{t'}^{t_1} H_I'(t_1)H_I'(t_2)\mathrm{d}t_1\mathrm{d}t_2 + \cdots\\ 2) \hspace2ex &\text{Calcular las energías y estados propios del Hamiltoniano } H = \begin{pmatrix}100&1\\1&200\\\end{pmatrix}\\ \end{aligned} Soluciones enviadas Roger Balsach
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