(20.1) Corchete de Poisson
\{ A, B \} = \sum_{i=1}^{n}
\frac{ \partial A }{ \partial q_i }
\frac{ \partial B }{ \partial p_i }
-
\frac{ \partial A }{ \partial p_i }
\frac{ \partial B }{ \partial q_i }
(20.2) Ecuaciones de movimiento
a partir de corchetes de Poisson
f(q, p, t) \longrightarrow \dot{f} = \{ f, H \} + \frac{ \partial f }{ \partial t }
(20.3) Notación simpléctica
z = \begin{pmatrix}
q_1 \\ \cdots \\ q_n \\ p_1 \\ \cdots \\ p_n
\end{pmatrix}
\frac{ \partial H }{ \partial z } = \begin{pmatrix}
\frac{ \partial H }{ \partial q_i } \\
\cdots \\
\frac{ \partial H }{ \partial q_n } \\
\frac{ \partial H }{ \partial p_1 } \\
\cdots \\
\frac{ \partial H }{ \partial p_n } \\
\end{pmatrix}
J = \begin{pmatrix}
0_{n \times n} & I_{n \times n} \\
-I_{n \times n} & 0_{n \times n}
\end{pmatrix}
(20.4) Ecuación de movimiento
en notación simpléctica
\dot{z} = J \frac{ \partial H }{ \partial z }
(20.5) Corchete de Poisson
en notación simpléctica
\{ A,B \} = \left( \frac{ \partial A }{ \partial z } \right)^T
J \left( \frac{ \partial B }{ \partial z } \right)
(20.6) El corchete de Poisson es invariante
bajo transformaciones canónicas
\{ A,B \}_{p, q} = \{ A,B \}_{P, Q}
\{ A,B \}_z = \{ A,B \}_Z
(20.7) Propiedades de los corchetes de Poison
\begin{aligned}
1) & \ \{ A, B \} = - \{ B, A \} \\
2) & \ \{ \alpha A + \beta B, C \} = \alpha \{ A, C \} + \beta \{ B, C \} \\
3) & \ \{ AB, C \} = A \{ B, C \} + \{ A, C \} B \\
4) & \ \text{Identidad de Jacobi} \\
& \ \{ A, \{ B, C \} \} + \{ C, \{ A, B \} \} + \{ B, \{ C, A \} \} = 0
\end{aligned}
Teorema
\text{Si se cumple (1), (2), (3), (4) y } AB \neq BA \text{ entonces:}
\{ A,B \} = k (AB -BA)
\text{con } k \text{ una constante universal}
(20.8) Corchetes de Poisson
de las variables qi y pj
\{ q_i, q_j \} = 0
\{ p_i, p_j \} = 0
\{ q_i, p_j \} = \delta_{ij}
(22.2) Ecuaciones de Hamilton
\dot{q_i} = \{ q_i, H \}
\dot{p_i} = \{ p_i, H \}
(22.3)
\{ q_i, L_j \} = \varepsilon_{ijk} \ q_k
\{ p_i, L_j \} = \varepsilon_{ijk} \ p_k
\{ L_i, L_j \} = \varepsilon_{ijk} \ L_k
Tensor de Levi-Civita
\varepsilon_{ijk} = \begin{cases}
+1 & \text{si } (i,j,k) \text{ es } (1,2,3), (2,3,1) \text{ o } (3,1,2), \\
-1 & \text{si } (i,j,k) \text{ es } (3,2,1), (1,3,2) \text{ o } (2,1,3), \\
0 & \text{si } i = j, \text{ o } j = k, \text{ o } k = i
\end{cases}
(22.4) Momento angular
\text{\footnotesize Si } \vec{L} \text{ \footnotesize es el momento angular}
\text{\footnotesize y las cantidades } A_1, A_2, A_3 \text{ \footnotesize cumplen:}
\{ A_i, L_j \} = \varepsilon_{ijk} \ A_k
\text{\footnotesize entonces } \vec{A} \text{ \footnotesize es un vector}
(32.1) Métrica e inversa de la métrica
g = \begin{pmatrix}
g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\
g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\
g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23} \\
g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33}
\end{pmatrix}
g^{-1} = \begin{pmatrix}
g^{00} & g^{01} & g^{02} & g^{03} \\
g^{10} & g^{11} & g^{12} & g^{13} \\
g^{20} & g^{21} & g^{22} & g^{23} \\
g^{30} & g^{31} & g^{32} & g^{33}
\end{pmatrix}
En Minkowski
g = \text{diag} (1, -1, -1, -1)
g^{-1} = g
(32.2) Vector dual (1-forma)
\bar{u} \equiv u^T g = \begin{pmatrix}u_0 & u_1 & u_2 & u_3\end{pmatrix}
u_\alpha = u^\beta g_{\beta \alpha} = g_{\alpha \beta} u^\beta
u^\alpha = g^{\alpha\beta} u_\beta
con:
u = \begin{pmatrix}u^0 \\ u^1 \\ u^2 \\ u^3\end{pmatrix}
(32.3) Producto escalar
u \cdot v = \bar{u} v
u \cdot v = u_\alpha v^\alpha
u \cdot v = u^\beta v_\beta
u \cdot v = u^T g v
(32.4) Vectores duales de la base
e^\alpha \equiv \text{\footnotesize vector dual de } e_\alpha
e^\alpha = ( e_\alpha )^T g
Y se cumple
e_\alpha \cdot e^\beta = \delta_\alpha^\beta
En Minkowski
e^0 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = ( e_0 )^T
e^1 = \begin{pmatrix}0 & -1 & 0 & 0\end{pmatrix} = -( e_0 )^T
e^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} = -( e_2 )^T
e^3 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix} = -( e_3 )^T
(32.5)
v^{\beta\prime} = {\Lambda^{\beta\prime}}_\alpha v^\alpha
\begin{pmatrix}
v^{0\prime} \\ v^{1\prime} \\ v^{2\prime} \\ v^{3\prime}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
{\Lambda^{0\prime}}_0 & {\Lambda^{0\prime}}_1 & {\Lambda^{0\prime}}_2 & {\Lambda^{0\prime}}_3 \\
{\Lambda^{1\prime}}_0 & {\Lambda^{1\prime}}_1 & {\Lambda^{1\prime}}_2 & {\Lambda^{1\prime}}_3 \\
{\Lambda^{2\prime}}_0 & {\Lambda^{2\prime}}_1 & {\Lambda^{2\prime}}_2 & {\Lambda^{2\prime}}_3 \\
{\Lambda^{3\prime}}_0 & {\Lambda^{3\prime}}_1 & {\Lambda^{3\prime}}_2 & {\Lambda^{3\prime}}_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} v^0 \\ v^1 \\ v^2 \\ v^3 \end{pmatrix}
(32.6)
v^\beta = {\Lambda^\beta}_{\alpha\prime} v^{\alpha\prime}
\begin{pmatrix} v^0 \\ v^1 \\ v^2 \\ v^3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
{\Lambda^0}_{0\prime} & {\Lambda^0}_{1\prime} & {\Lambda^0}_{2\prime} & {\Lambda^0}_{3\prime} \\
{\Lambda^1}_{0\prime} & {\Lambda^1}_{1\prime} & {\Lambda^1}_{2\prime} & {\Lambda^1}_{3\prime} \\
{\Lambda^2}_{0\prime} & {\Lambda^2}_{1\prime} & {\Lambda^2}_{2\prime} & {\Lambda^2}_{3\prime} \\
{\Lambda^3}_{0\prime} & {\Lambda^3}_{1\prime} & {\Lambda^3}_{2\prime} & {\Lambda^3}_{3\prime}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v^{0\prime} \\ v^{1\prime} \\ v^{2\prime} \\ v^{3\prime}
\end{pmatrix}
(32.7)
\Lambda^{-1} = \left( {\Lambda^\beta}_{\alpha\prime} \right) = g \Lambda^T g
(32.8)
\begin{aligned}
&u' = \Lambda u & \text{\footnotesize (contravariante)} \\
&\bar{u}' = \bar{u} \Lambda^{-1} & \text{\footnotesize (covariante)} \\
&\bar{u} = \bar{u}' \Lambda & \text{\footnotesize (inversa covariante)}
\end{aligned}
u_{\alpha\prime} = u_\beta {\Lambda^\beta}_{\alpha\prime}
u_\alpha = u_{\beta\prime} {\Lambda^{\beta\prime}}_\alpha
(32.9)
A = A^\mu e_\mu = A^{\mu\prime} e_{\mu\prime}
(32.10)
\left( {\Lambda^\beta}_{\alpha\prime} \right)^T = {\Lambda_{\alpha\prime}}^\beta
{\Lambda_{\alpha\prime}}^\beta
\longleftrightarrow \left( \Lambda^{-1} \right)^T = g \Lambda g
e_{\alpha\prime} = {\Lambda_{\alpha\prime}}^\beta e_\beta
e_\alpha = {\Lambda_\alpha}^{\beta\prime} e_{\beta\prime}
e_\alpha = \Lambda^T e_{\beta\prime}
\begin{pmatrix}
e_{0\prime} \\ e_{1\prime} \\ e_{2\prime} \\ e_{3\prime}
\end{pmatrix} =
\left( \Lambda^{-1} \right)^T
\begin{pmatrix} e_0 \\ e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{pmatrix}
(32.11)
{\Lambda^{\mu\prime}}_\alpha {\Lambda_{\mu\prime}}^\sigma = \delta_\alpha^\sigma
(32.12)
v^\beta = v^{\alpha\prime} {\Lambda_{\alpha\prime}}^\beta
v^{\beta\prime} = v^\alpha {\Lambda_\alpha}^{\beta\prime}
(33.1) Campo escalar con masa
S [ \phi ] = \int d^4 x \left[ \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{ m^2 c^2 }{ 2 \hbar^2 } \phi^2 \right]
(33.2) Transformación de Poincaré
x^{\mu'} = {\Lambda^{\mu'}}_\alpha x^\alpha + \alpha^{\mu'}
Forma compacta:
x' = \Lambda x + a'
x = \Lambda^{-1} (x' - a')
(33.3) Transformación del campo escalar
\phi' (x) = \phi \left( \Lambda^{-1} x \right) \hspace4ex \text{Si } a' = 0
(33.4) Acción relativista de
un punto material de masa m
S \left[ x(t) \right] = -mc^2 \int \sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} } dt
(33.5) Lagrangiano relativista de
un punto material de masa m
L = -mc^2 \sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} }
(33.6) Momento canónico conjugado
p = \frac{ \partial L }{ \partial v } = \frac{mv}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} } } = \text{constante}
(33.7) Hamiltoniano
E = H = pv - L = \frac{mc^2}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} } } = \text{constante}
(33.8) Relación entre p y E
E = \sqrt{ p^2 c^2 + m^2 c^4 }
(33.9) Velocidad de la partícula
v = \frac{pc^2}{E} = \frac{dE}{dp}
(33.10) Velocidad
de FASE
v_F = \frac{\omega}{k}
(33.11) Velocidad
de GRUPO
v_G = \frac{d\omega}{dk}
(33.12) De Broglie
p = \hbar k
E = \hbar \omega
(33.13) Ecuación de Klein-Gordon
\frac{1}{c^2} \frac{ \partial^2 \phi }{ \partial t^2 }
- \frac{ \partial^2 \phi }{ \partial x^2 }
+ \frac{ m^2 c^2 }{ \hbar^2 } \phi = 0
\left( \partial_\mu \partial^\mu + \frac{ m^2 c^2 }{ \hbar^2 } \right) \phi = 0
(33.14) Relación de dispersión
Campo Klein-Gordon
\omega = \sqrt{ k^2 c^2 + \frac{ m^2 c^4 }{ \hbar^2 } }
(33.15) Velocidad de FASE
v_F = \frac{\omega}{k} = c \sqrt{ 1 + \frac{ m^2 c^2 }{ \hbar^2 } } \geqslant c
(33.16) Velocidad de GRUPO
v_G = \frac{d\omega}{dk} = c \frac{1} { \sqrt{ 1 + \frac{ m^2 c^2 }{ \hbar^2 } } } \leqslant c
(34.1) Campo escalar con masa
(en unidades de Plank)
S[\phi] = \int d^4 x \left[ \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - U(\phi) \right]
(34.2) Traslación espaciotemporal
\widetilde{x}^\mu = x^\mu + \alpha^\mu \longrightarrow S[\phi] = S \left[ \widetilde{\phi} \right]
(34.3) Variación "tilde" del campo
\widetilde{\delta} \phi \equiv \widetilde{\phi} \left( \widetilde{x} \right) - \phi(x)
Para un campo escalar:
\widetilde{\delta} \phi \equiv \widetilde{\phi} \left( \widetilde{x} \right) - \phi(x) = 0 \text{ (siempre)}
(34.4) Variación (funcional) del campo
\delta \phi \equiv \widetilde{\phi} (x) - \phi(x)
(34.5) Transformación infinitesimal (aμ → 0)
\widetilde{\phi} (x) - \phi(x) \simeq - a^\mu \partial_\mu \phi \longrightarrow \delta \phi = - a^\mu \partial_\mu \phi
(34.6) Transformación infinitesimal
de la densidad lagrangina (aμ → 0)
\delta \mathcal{L} = -a^\mu \partial_\mu \mathcal{L}
(34.7) Variacioes
(\delta\phi)_S = -a^\mu \partial_\mu \phi
(\delta \mathcal{L})_S = -a^\mu \partial_\mu \mathcal{L}
(\delta \mathcal{L})_{E-L} = \partial_\mu \left(
\frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \left( \partial_\mu \phi \right) } \delta \phi
\right)
(34.8) Tensor de Energía-Momento
para un campo escalar
T^{\mu\nu} =
\frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \left( \partial_\mu \phi \right) } \partial^\nu \phi
- g^{\mu\nu} \mathcal{L}
\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0
(34.9) Componentes del Tensor Energía-Momento
\begin{aligned}
T^{00} &= \frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \phi }{ \partial x^0 } \right)^2
+ \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{\nabla} \phi \right)^2 + U(\phi) \\
T^{11} &= \frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \phi }{ \partial x^0 } \right)^2
+ \frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \phi }{ \partial x^1 } \right)^2
- \frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \phi }{ \partial x^2 } \right)^2
- \frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \phi }{ \partial x^3 } \right)^2
- U(\phi) \\
T^{22} &= \frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \phi }{ \partial x^0 } \right)^2
- \frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \phi }{ \partial x^1 } \right)^2
+ \frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \phi }{ \partial x^2 } \right)^2
- \frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \phi }{ \partial x^3 } \right)^2
- U(\phi) \\
T^{33} &= \frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \phi }{ \partial x^0 } \right)^2
- \frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \phi }{ \partial x^1 } \right)^2
- \frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \phi }{ \partial x^2 } \right)^2
+ \frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \phi }{ \partial x^3 } \right)^2
- U(\phi) \\
T^{0i} &= T^{i0} = - \frac{ \partial \phi }{ \partial x^0 }
\frac{ \partial \phi }{ \partial x^i } \\
T^{12} &= T^{21} = \frac{ \partial \phi }{ \partial x^1 }
\frac{ \partial \phi }{ \partial x^2 } \\
T^{13} &= T^{31} = \frac{ \partial \phi }{ \partial x^1 }
\frac{ \partial \phi }{ \partial x^3 } \\
T^{23} &= T^{32} = \frac{ \partial \phi }{ \partial x^2 }
\frac{ \partial \phi }{ \partial x^3 } \\
\end{aligned}
(34.10) Klein-Gordon 1+1
\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left( \dot{\phi} \right)^2 + \frac{1}{2} \left(\phi'\right)^2 - \frac{m}{2} \phi^2
T^{00} = \frac{1}{2} \left( \dot{\phi} \right)^2 + \frac{1}{2} \left(\phi'\right)^2 + \frac{m}{2} \phi^2
T^{11} = \frac{1}{2} \left( \dot{\phi} \right)^2 + \frac{1}{2} \left(\phi'\right)^2 - \frac{m}{2} \phi^2
T^{01} = T^{10} = - \left( \dot{\phi} \right) \phi'
(34.11) Energía almacenada en un Volumen
\text{Energía } = \int_V d^3 x T^{00}
(34.12) Ecuación Continuidad de la Energía
\frac{ d (\text{\footnotesize Energía}) }{dt} =
\int_V d^3 x \partial_0 T^{00} =
- \int_V d^3 x \partial_j T^{0j} =
- \int_{S(V)} dS n_j T^{0j}
(34.13) Momento lineal
almacenado en un Volumen
P_x = \int_V d^3 x T^{01}
P_y = \int_V d^3 x T^{02}
P_z = \int_V d^3 x T^{03}
(34.14) Densidad de Corriente de Energía
\overrightarrow{j}_{\text{\footnotesize Energía}} = \left( T^{01}, T^{02}, T^{03} \right)
(34.15) Densidades de Corriente de Momento
\overrightarrow{j}_{P_x} = \left( T^{11}, T^{12}, T^{13} \right)
\overrightarrow{j}_{P_y} = \left( T^{21}, T^{22}, T^{23} \right)
\overrightarrow{j}_{P_z} = \left( T^{31}, T^{32}, T^{33} \right)
(34.16) Teorema (caso especial de Noether)
\text{Si hay simetría de traslación espacio-temporal entonces}
\text{existe un tensor } T \text{ tal que su divergencia es cero.}
\text{Es decir, existen cuatro corrientes conservadas:}
\begin{aligned}
\partial_0 T^{00} &+ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{j}_{\text{\footnotesize Energía}} = 0 \\
\partial_0 T^{10} &+ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{j}_{P_x} = 0 \\
\partial_0 T^{20} &+ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{j}_{P_y} = 0 \\
\partial_0 T^{30} &+ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{j}_{P_z} = 0 \\
\end{aligned}
(36.1) Función test u(x) en [a,b]
\begin{aligned}
&\text{- Infinitamente derivable en } [a,b] \\
&\text{- Soporte compacto en } [a,b] \text{, es decir:}
\end{aligned}
u(x) = \begin{cases}
&&0 & x \leqslant a \\
&&\neq 0& a < x < b \\
&&0 & x \geqslant b
\end{cases}
(36.2) Propiedad
\int_a^b g(x) u(x) dx = - \int_a^b g(x) u'(x) dx
(36.3) Función generalizada
\left[ f(x) \right]_u \equiv \int_a^b f(x) u(x) dx
(36.4) Derivada de una función generalizada
\left[ f'(x) \right]_u \equiv \int_a^b f'(x) u(x) dx
= - \int_a^b f(x) u'(x) dx = - f(x)_{u'}
(36.5) Derivada n-ésima de una función generalizada
\left[ f^{(n)}(x) \right]_u = (-1)^n \left[ f(x) \right]_{u^{(n)}}
(36.6) Delta de Dirac
\left[ \delta (x) \right]_u = \int_a^b \delta(x) u(x) dx =
\begin{cases}
&&u(0) & 0 \in [a,b] \\
&&0 & 0 \notin [a,b]
\end{cases}
(36.7) Derivada de Delta de Dirac
\left[ \delta' (x) \right]_u = - \int_a^b \delta(x) u'(x) dx =
\begin{cases}
&&-u'(0) & 0 \in [a,b] \\
&&0 & 0 \notin [a,b]
\end{cases}
(36.8) Derivada de una función
multiplicada por una Delta de Dirac
\left[ f(x) \delta(x) \right]'_u = - \left[ f(x) \delta(x) \right]_{u'}
(36.9) Regla de Leibnitz
\left[ AB \right]'_u = \left[ A'B + AB' \right]_u
(36.10) Composición de funciones generalizadas
\left[ f \left( g(x) \right) \right]_u =
\int f(y) \frac{1}{ | g' \left( h(y) \right) | } u \left( h(y) \right) dy
\hspace4ex \left( h = g^{-1} \right)
(36.11) Composición con Deltas de Dirac
\left[ \delta \left( f(x) \right) \right]_u =
\int \delta(y) \frac{1}{ | f' \left( g(y) \right) | } u \left( g(y) \right) dy
\hspace4ex \left( g = f^{-1}, y = f(x), x = g(y) \right)
\left[ \delta \left( f(x) \right) \right]_u =
\sum_i \left[ \frac{ u (x_i) }{ | f' (x_i) | } \right]
\text{\footnotesize para todos los } x_i
\text{\footnotesize que cumplan } f(x_i) = 0
\left[ \delta \left( f(x) \right) \right]_u =
\left[ \sum_i \frac{ \delta( x - x_i ) }{ | f' (x_i) | } \right]_u
(36.12) Composición con Deltas en más dimensiones
\left[ \delta^{(d)} \left( \vec{f} \left( \vec{x} \right) \right) \right]_u =
\left[ \sum_i \frac
{ \delta^{(d)} \left( \vec{x} - \vec{x}_i \right) }
{ \text{ | \footnotesize JACOBIANO}(x_i) | }
\right]_u
