Repositorio de fórmulas para el Curso de Relatividad General de Javier García

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Apuntes transcritos (capítulos 1 al 17) por Sergio Hidalgo (PDF)
https://www.dropbox.com/s/wopvu5soh8417jg/Apuntes de relatividad general (sergio Hidalgo).pdf

Capítulo 1

(1.1) Base de TpM \{e_1, e_2, ..., e_N\}
(1.2) Métrica de TpM g_{ij} = e_i \cdot e_j
(1.3) Longitud
infinitesimal de una curva
ds = \sqrt{g_{ij} dx^i dx^j}
(1.4) Parametrización
de una curva
x^i \left( \lambda \right)
(1.5) Longitud infinitesimal
de una curva (parametrizada)
ds = \sqrt{g_{ij} \frac{dx^i}{d\lambda} \frac{dx^j}{d\lambda}} d \lambda
(1.6) Longitud de una curva (parametrizada) s = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \sqrt{g_{ij} \frac{dx^i}{d\lambda} \frac{dx^j}{d\lambda}} d \lambda

Capítulo 2

(2.1) Inversa de la métrica g^{ij} = \left( g^{-1} \right)_{ij}
(2.2) Base dual e^i \cdot e_j = \delta^i_j e^i = g^{ij} e_j e_i = g_{ij} e^j

Capítulo 3

(3.1) Transformación
de coordenadas
x^{i'} = x^{i'} \left( x^j \right)
(3.2) Base coordenada e_{i'} = \frac{\partial x^j}{\partial x^{i'}} e_j
(3.3) Base coordenada dual e^{i'} = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^j} e^j
(3.4) \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^j} \frac{\partial x^j}{\partial x^{j'}} = \delta_{j'}^{i'}
(3.5) \frac{\partial x^i}{\partial x^{j'}} \frac{\partial x^{j'}}{\partial x^j} = \delta_j^i

Capítulo 4

(4.1) Transformación de
componentes de un vector
A^{i'}=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^j} A^j A_{i'}=\frac{\partial x^j}{\partial x^{i'}} A_j

Capítulo 5

(5.1) Producto tensorial de
espacios vectoriales
T_pM \otimes T_pM
(5.2) Base del producto tensorial
de espacios vectoriales
\{ e_i \otimes e_j \}
(5.3) Base dual del producto tensorial
de espacios vectoriales
\{ e^i \otimes e^j \}
(5.4) Bases mixtas del producto tensorial
de espacios vectoriales
\{ e_i \otimes e^j \} \quad \{ e^i \otimes e_j \}
(5.5) Tensor de rango 2 tipo (0,2) \mathbb{T} = T_{ij} e^i \otimes e^j
(5.6) Tensor de rango 2 tipo (2,0) \mathbb{T} = T^{ij} e_i \otimes e_j
(5.7) Tensor mixto de rango 2 tipo (1,1) \mathbb{T} = {T^i}_j e_i \otimes e^j
(5.8) Tensor mixto de rango 2 tipo (1,1) \mathbb{T} = {T_i}^{\space j} e^i \otimes e_j
(5.9) Producto escalar de Tensores \mathbb{T} \bullet \mathbb{M} = \left( T_{ij}e^i \otimes e^j \right) \bullet \left( M_{kl} e^k \otimes e^l \right) = T_{ij} M_{kl} g^{ik} g^{jl} = T_{ij} M^{ij}
(5.10) Contracción de un
tensor con un vector
T_{ij} A^i
(5.11) Subida y bajada de
índices de un tensor
A^i = g^{ij} A_j A_i = g_{ij} A^j T_{mjk} = g_{im} {T^i}_{jk} {T^i}_j \space^m = g^{km} {T^i}_{jk}
(5.12) Transformación de
componentes de un tensor
T_{i'j'} = \frac{\partial x^k}{\partial x^{i'}} \frac{\partial x^m}{\partial x^{j'}} T_{km} {T^{i'}}_{j'} = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^k} \frac{\partial x^m}{\partial x^{j'}} {T^k}_m T^{i'j'} = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^k} \frac{\partial x^{j'}}{\partial x^m} T^{km}

Capítulo 6

I \left[ x^i \left( \lambda \right) \right] =\int_{\lambda_1}^{\lambda_2} f\left( x^i, \frac{dx^i}{d\lambda} \right) d\lambda (6.1) Ecuaciones Euler-Lagrange \frac{\partial f}{\partial x^i} = \frac{d}{d \lambda} \left( \frac {\partial f} {\partial \left( \frac{dx^i}{d \lambda} \right) } \right)

Capítulo 7

No hay fórmulas

Capítulo 8

(8.1) u^i \equiv \frac{dx^i}{ds}
(8.2) Geodésicas \frac{du^m}{ds} + \tfrac{1}{2} g^{mi} \left( \partial_k g_{ip} + \partial_p g_{ik} - \partial_i g_{kp} \right) u^k u^p = 0

Capítulo 9: Ejercicio

(9.1) Propuesta de ejercicio
Escribir (no resolver) las ecuaciones de las geodésicas
x^1 = x x^2 = y g = \begin{pmatrix} -1 - \frac{b}{y} & 0 \\ 0 & \frac{1}{1 + \frac{b}{y}} \end{pmatrix} \frac{du^m}{ds} + \tfrac{1}{2} g^{mi} \left( \partial_k g_{ip} + \partial_p g_{ik} - \partial_i g_{kp} \right) u^k u^p = 0 En donde: u^1 = \frac{dx^1}{ds} \equiv \frac{dx}{ds} u^2 = \frac{dx^2}{ds} \equiv \frac{dy}{ds}

Capítulo 10: Solución Ejercicio

(10.1) Solución al ejercicio del Capítulo 9 Click para mostrar la solución \ddot{x} - \frac{b}{ \left( 1 + \frac{b}{y} \right) y^2} \dot{x} \dot{y} = 0 \ddot{y} - \frac{b}{2y^2} \left(1 + \frac{b}{y} \right) \left( \dot{x} \right) ^2 + \frac{b}{ 2 \left( 1 + \frac{b}{y} \right) y^2} \left( \dot{y} \right) ^2 = 0

Capítulo 11: Transporte Paralelo (1/3)

(11.1) Coordenadas esféricas x = R \sin \theta \cos \phi y = R \sin \theta \sin \phi z = R \cos \theta
(11.2) Base coordenada en coordenadas esféricas e_R = \sin \theta \cos \phi e_x + \sin \theta \sin \phi e_y + \cos \theta e_z e_{\theta} = R \cos \theta \cos \phi e_x + R \cos \theta \sin \phi e_y - R \sin \theta e_z e_{\phi} = -R \sin \theta \sin \phi e_x + R \sin \theta \cos \phi e_y a la inversa e_x = \cos \phi \sin \theta e_R + \frac{1}{R} \cos \theta \cos \phi e_\theta - \frac{1}{R} \frac{\sin \phi}{\sin \theta} e_\phi e_y = \sin \phi \sin \theta e_R + \frac{1}{R} \cos \theta \sin \phi e_\theta + \frac{1}{R} \frac{\cos \phi}{\sin \theta} e_\phi e_z = \cos \theta e_R - \frac{1}{R} \sin \theta e_\theta
(11.3) Métrica en coordenadas esféricas g_{ij} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & R^2 & 0 \\ 0 & 0 & R^2 \sin^2 \theta \end{pmatrix} (11.4) Inversa de la métrica en coordenadas esféricas g^{ij} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{R^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{R^2 \sin^2 \theta} \end{pmatrix}
(11.5) Base dual en coordenadas esféricas e^R = e_R e^{\theta} = \frac{1}{R^2} e_{\theta} e^{\phi} = \frac{e_{\phi}}{R^2 \sin^2 \theta}
(11.6) Símbolos de Christoffel \frac{\partial e_i}{\partial x^j} \equiv \Gamma^k_{ij} e_k \frac{\partial e^i}{\partial x^j} \equiv -\Gamma^i_{jk} e^k Para coordenadas esféricas: \Gamma^R_{\theta \theta} = - R \Gamma^{\theta}_{\phi \phi} = - \sin \theta \cos \theta \Gamma^{\phi}_{\phi \theta} = \Gamma^{\phi}_{\theta \phi} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \Gamma^R_{\phi \phi} = - R \sin^2 \theta \Gamma^{\theta}_{\theta R} = \Gamma^{\theta}_{R \theta} =\Gamma^{\phi}_{\phi R} =\Gamma^{\phi}_{R \phi} = \frac{1}{R} \text{ resto } \Gamma^k_{ij} = 0
(11.7) Derivada covariante (Definición) \nabla_i A^k \equiv \frac{\partial A^k}{\partial x^i} + \Gamma^k_{ij} A^j \nabla_i A_k \equiv \frac{\partial A_k}{\partial x^i} - \Gamma^j_{ik} A_j

Capítulo 12: Transporte Paralelo (2/3)

(12.1) Derivada de un vector
a lo largo de una trayectoria
\frac{d \vec{A}}{d \lambda} = \left( u^i \nabla_i A^k \right) e_k
(12.2) S2 (Esferalandia)
Coordenadas:
\{ \theta, \phi \} Base \{ e_{\theta}, e_{\phi} \}
(12.3) Métrica de S2 g = \begin{pmatrix} R^2 & 0 \\ 0 & R^2 \sin^2 \theta \end{pmatrix}
(12.4) Símbolos de Christoffel de S2 \Gamma_{\phi \phi}^{\theta} = - \sin \theta \cos \theta \Gamma_{\phi \theta}^{\phi} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \text{ resto } \Gamma_{ij}^k = 0
(12.5) Campo transportado \vec{A} \text{ será un campo transportado paralelamente } \text{ en la trayectoria } \theta \left( \lambda \right) \phi \left( \lambda \right) \text{ si cumple: } u^i \nabla_i A^k = 0

Capítulo 13: Transporte Paralelo (3/3)

(13.1) Transporte paralelo \frac{du^\alpha}{ds} + \Gamma_{\gamma \delta}^{\alpha} u^\gamma u^\delta = 0
(13.2) Conexión métrica \Gamma_{\gamma \delta}^{\alpha} = \tfrac{1}{2} g^{\alpha \beta} \left( \partial_\gamma g_{\beta \delta} + \partial_\delta g_{\beta \gamma} - \partial_\beta g_{\gamma \delta} \right)
(13.3) Teorema \text{ Conexión métrica } \Gamma \Leftrightarrow \nabla g = 0

Capítulo 14: Derivada Covariante de un Tensor

(14.1) Derivada de un vector
respecto a una coordenada
\frac{\partial e_\alpha}{\partial x^\beta} = \Gamma_{\beta \alpha}^\gamma e_\gamma \frac{\partial e^\alpha}{\partial x^\beta} = - \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha e^\gamma
(14.2) Derivada covariante de un Tensor tipo (2,0) \nabla_\gamma T^{\alpha \beta} \equiv \partial_\gamma T^{\alpha \beta} + \Gamma_{\sigma \gamma}^\alpha T^{\sigma \beta} + \Gamma_{\delta \gamma}^\beta T^{\alpha \delta} (14.3) Derivada covariante de un Tensor tipo (0,2) \nabla_\gamma T_{\alpha \beta} \equiv \partial_\gamma T_{\alpha \beta} - \Gamma_{\alpha \gamma}^\sigma T_{\sigma \beta} - \Gamma_{\beta \gamma}^\delta T_{\alpha \delta} (14.4) Derivada covariante de un Tensor tipo (1,1) \nabla_\gamma {T^\alpha}_\beta \equiv \partial_\gamma {T^\alpha}_\beta + \Gamma_{\sigma \gamma}^\alpha {T^\sigma}_\beta - \Gamma_{\gamma \beta}^\delta {T^\alpha}_\delta (14.4b) Derivada covariante de un Tensor tipo (1,2)
Ver vídeo del Capítulo 54
\nabla_\alpha T^\beta_{\gamma \delta} \equiv \partial_\alpha T^\beta_{\gamma \delta} + \Gamma_{\alpha \lambda}^\beta T^\lambda_{\gamma \delta} - \Gamma_{\alpha \gamma}^\lambda T^\beta_{\lambda \delta} - \Gamma_{\alpha \delta}^\lambda T^\beta_{\gamma \lambda}
(14.5) Tensor de Riemann \mathbb{R} = {R^\alpha}_{\beta \gamma \delta} \space e_\alpha \otimes e^\beta \otimes e^\gamma \otimes e^\delta (14.6) Derivada covariante del Tensor de Riemann \nabla_\sigma {R^\alpha}_{\beta \gamma \delta} = \partial_\sigma {R^\alpha}_{\beta \gamma \delta} + \Gamma_{\omega \sigma}^\alpha {R^\omega}_{\beta \gamma \delta} - \Gamma_{\beta \sigma}^\rho {R^\alpha}_{\rho \gamma \delta} - \Gamma_{\gamma \sigma}^\phi {R^\alpha}_{\beta \phi \delta} - \Gamma_{\delta \sigma}^\theta {R^\alpha}_{\beta \gamma \theta}

Capítulo 15: Derivada de Lie. Vectores de Killing

(15.1) Derivada de Lie
de un vector contravariante
\mathscr{L}_A B^\alpha = A^\beta \partial_\beta B^\alpha - B^\beta \partial_\beta A^\alpha \mathscr{L}_A B^\alpha = A^\beta \nabla_\beta B^\alpha - B^\beta \nabla_\beta A^\alpha
(15.2) Derivada de Lie
de un vector covariante
\mathscr{L}_A B_\alpha = A^\beta \partial_\beta B_\alpha + B_\beta \partial_\alpha A^\beta \mathscr{L}_A B_\alpha = A^\beta \nabla_\beta B_\alpha + B_\beta \nabla_\alpha A^\beta
(15.3) Corchete de Lie \vec{A} = A^\beta \frac{\partial}{\partial x^\beta} \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \vec{B} = B^\beta \frac{\partial}{\partial x^\beta} \mathscr{L}_{\vec{A}} \vec{B} = \left[ \vec{A}, \vec{B} \right] = \left( A^\beta \frac{\partial B^\alpha}{\partial x^\beta} - B^\beta \frac{\partial A^\alpha}{\partial x^\beta} \right) \frac{\partial}{\partial x^\alpha}
(15.4) Derivada de Lie de un Tensor tipo (2,0) \mathbb{T} = T^{\alpha \beta} e_\alpha \otimes e_\beta \mathscr{L}_u T^{\mu \nu} = u^\beta \partial_\beta T^{\mu \nu} - T^{\alpha \nu} \partial_\alpha u^\mu - T^{\mu \alpha} \partial_\alpha u^\nu \mathscr{L}_u T^{\mu \nu} = u^\beta \nabla_\beta T^{\mu \nu} - T^{\alpha \nu} \nabla_\alpha u^\mu - T^{\mu \alpha} \nabla_\alpha u^\nu
(15.5) Derivada de Lie de un Tensor tipo (0,2) \mathbb{T} = T_{\alpha \beta} e^\alpha \otimes e^\beta \mathscr{L}_u T_{\mu \nu} = u^\beta \partial_\beta T_{\mu \nu} + T_{\beta \nu} \partial_\mu u^\beta + T_{\mu \beta} \partial_\nu u^\beta \mathscr{L}_u T_{\mu \nu} = u^\beta \nabla_\beta T_{\mu \nu} + T_{\beta \nu} \nabla_\mu u^\beta + T_{\mu \beta} \nabla_\nu u^\beta
(15.6) Vectores de Killing \text{Dada la métrica:} g_{\mu \nu} \text{Si existe un vector } \vec{u} \text{ tal que:} \mathscr{L}_u g_{\mu \nu} = 0 \text{Entonces hay simetría en la "dirección" dada por } \vec{u} \vec{u} = \text{vectores de Killing}
(15.7) Ecuación de Killing \nabla_\mu u_\nu + \nabla_\nu u_\mu = 0

Capítulo 16: Tensor de Riemann

(16.1) Tensor de Riemann R^i_{jkl} = \frac{\partial \Gamma^i_{lj}}{\partial x^k} - \frac{\partial \Gamma^i_{kj}}{\partial x^l} + \Gamma^i_{kn} \Gamma^n_{lj} - \Gamma^i_{ln} \Gamma^n_{kj} (16.2) Tensor de Ricci R^k_{jkl} \equiv R_{jl} (16.3) Curvatura escalar R = g^{ij} R_{ij}
(16.4) Tensor de Riemann R_{ijkl} = g_{in} R^n_{jkl} Propiedades \text{\footnotesize a) } R_{ijkl} = - R_{jikl} \text{\footnotesize b) } R_{ijkl} = - R_{ijlk} \text{\footnotesize c) } R_{ijkl} = R_{klij} \text{\footnotesize d) } R_{ijkl} + R_{iljk} + R_{iklj} = 0 \text{\footnotesize e) Identidad de Bianchi:} \partial_m R^i_{jkl} + \partial_l R^i_{jmk} + \partial_k R^i_{jlm} = 0 \text{\footnotesize f) } R_{ij} = R_{ji} \text{\footnotesize g) } R^{ij} = R^{ji} \text{\footnotesize h) } \partial_j R^{ij} = \tfrac{1}{2} g^{ij} \partial_j R \text{\footnotesize i) |g| = determinante de la métrica} R_{ij} = \frac{1}{\sqrt{\left| g \right|}} \partial_k \left( \sqrt{\left| g \right|} \Gamma_{ij}^k \right) - \partial_i \partial_j \left( ln \sqrt{\left| g \right|} \right) - \Gamma_{li}^k \Gamma_{jk}^l
(16.5) Nº de componentes independientes
del Tensor de Riemann
\sharp = \frac{n^2}{12} \left( n^2 - 1 \right) n \equiv \text{número de dimensiones} Ver vídeo del Capítulo 16 - Apéndice 1

Capítulo 16 - Apéndice 1

(16.A1.1) Cálculo alternativo del Tensor de Riemann \partial_\alpha \partial_\beta A^\mu e_\mu - \partial_\beta \partial_\alpha A^\mu e_\mu = R^\nu_{\gamma \alpha \beta} A^\gamma e_\nu versión práctica, simplificada en el vídeo del Capítulo 23 \left( \partial_\alpha \partial_\beta - \partial_\beta \partial_\alpha \right) e_\gamma = R^\sigma_{\gamma \alpha \beta} e_\sigma

Capítulo 17: Problemas propuestos

Propuestas de ejercicios (PDF)
https://www.dropbox.com/s/qc5cjpwgpyrf5rr/ejercicios RG 1.pdf

Capítulo 18: Cómo construir el espaciotiempo

(18.1) Transformación de
los ejes de coordenadas
entre dos sistemas inerciales
\text{\footnotesize Eje } ct': x = vt \text{\footnotesize Eje } x': ct = \frac{v}{c} x
(18.2) Cambio de base entre dos sistemas inerciales e_0' = \frac{1} { \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } } (e_0 + \frac{v}{c} e_1) e_1' = \frac{1} { \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } } (e_1 + \frac{v}{c} e_0) notación: x^0 \equiv ct x^1 \equiv x

Capítulo 19: Cómo construir el espaciotiempo 2

(19.1) Transformación de Lorentz
inversa (sistemas inerciales)
x^0 = \gamma x^{0'} + \gamma \beta x^{1'} x^1 = \gamma \beta x^{0'} + \gamma x^{1'} Con notación ct, x: ct = \gamma (ct' + \beta x') x = \gamma (vt' + x')
(19.2) Transformación de Lorentz
(sistemas inerciales)
x^{0'} = \gamma x^0 - \gamma \beta x^1 x^{1'} = - \gamma \beta x^0 + \gamma x^1
(19.3) Elemento de línea o intervalo espaciotemporal
(invariante para sistemas inerciales)
ds^2 \equiv -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 = -(dx^{0'})^2 + (dx^{1'})^2 Ver fórmula (1.3) para caso general
(19.4) Tiempo propio
(sistemas inerciales)
\tau \equiv dt' \equiv \text{\footnotesize tiempo propio} d\tau = \sqrt{1 - \frac{\dot{x}^2}{c^2}} dt d\tau = \text{\footnotesize invariante}
(19.5) "Velocidad" espaciotemporal \underline{u} = \frac{d(ct)}{d\tau} e_o + \frac{dx}{d\tau} e_1 \underline{u} \cdot \underline{u} = -c^2 \left|\left| \underline{u} \right|\right| = \text{\footnotesize constante} \underline{a} \cdot \underline{u} = 0

Capítulo 20: Aceleración en Relatividad Especial

(20.1) Línea del mundo de una partícula
con aceleración constante a (\underline{a} \cdot \underline{a} = a^2)
(solo válido en espaciotiempo plano)
x_{ \left( t \right) } = x_0 - \frac{c^2}{a} + \frac{c^2}{a} \sqrt{1 + \left( \frac{at}{c} \right)^2} Límite en el infinito: x_{ \left( t \to \infty \right) } \approx x_0 - \frac{c^2}{a} + ct \leq ct + k Para velocidades pequeñas comparadas con c (at \lt \lt c)
partiendo del reposo (v_0 = 0):
x_{ \left( t \right) } \approx x_0 + \frac{1}{2} at^2

Capítulo 21: Sistema Referencia Comóvil

No hay fórmulas

Capítulo 22: Coordenadas de Rindler

(22.1) Elemento de línea ds^2 = g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\beta
(22.2) Tiempo propio d\tau = \sqrt{ \frac{-1}{c^2} g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\beta }
(22.3) 4-velocidad \underline{u} = \frac{dx^\alpha}{d\tau} e_\alpha
(22.4) 4-aceleración \underline{a} = \frac{d \underline{u} }{d\tau}
(22.5) Aceleración propia a = \sqrt{ \underline{a} \cdot \underline{a} }
(22.6) Base de sistema de referencia comóvil \left\{ \frac{1}{c} \underline{u}, \frac{1}{ \sqrt{ \underline{b_1} \cdot \underline{b_1} } } \underline{b_1}, \frac{1}{ \sqrt{ \underline{b_2} \cdot \underline{b_2} } } \underline{b_2}, \frac{1}{ \sqrt{ \underline{b_3} \cdot \underline{b_3} } } \underline{b_1} \right\} tal que \underline{b_1} \cdot \underline{u} = \underline{b_2} \cdot \underline{u} = \underline{b_3} \cdot \underline{u} = 0 \underline{b_i} \cdot \underline{b_i} > 0
(22.7) Métrica de Rindler (I)
ds^2 = -r^2 c^2 dT^2 + dr^2
Símbolos de Christoffel de Rindler
ver vídeo del Capítulo 23
\Gamma^0_{10} = \frac{1}{r} \Gamma^1_{00} = r
Base coordenada de Rindler e_{cT} = r \left( \cosh{cT} e_0 + \sinh{cT} e_1 \right) e_r = \sinh{cT} e_0 + \cosh{cT} e_1 siendo ct = r \sinh{cT} x = r \cosh{cT} Versión dimensionalmente
correcta del vídeo del Capítulo 23
ds^2 = -\left( \frac{r}{b} \right)^2 c^2 dT^2 + dr^2

Capítulo 23: Conexión, curvatura y killing

No hay fórmulas

Capítulo 24: RINDLER: Cálculo de los killing

(24.1) Vectores de Killing de Rindler \underline{\xi}^{(1)} = \frac{1}{r} \cosh{cT} e_{cT} - \sinh{cT} e_r \underline{\xi}^{(2)} = - \frac{1}{r} \sinh{cT} e_{cT} + \cosh{cT} e_r \underline{\xi}^{(3)} = e_{cT}

Capítulo 25: ¿Qué significan realmente los Killings?

(25.1) Fórmulas para la congruencia del campo A x^\alpha (\varepsilon) \approx x^\alpha + \varepsilon A^\alpha_{(x^\beta)} siendo \varepsilon^2 \approx 0
(25.2) Vectores de Killing de Minkowski \vec{ \xi } = e_1 \text{ Traslación x } \vec{ \xi } = e_2 \text{ Traslación y } \vec{ \xi } = e_3 \text{ Traslación z } \vec{ \xi } = x e_2 - y e_1 \text{ Rotación en torno al eje z } \vec{ \xi } = y e_3 - z e_2 \text{ Rotación en torno al eje x } \vec{ \xi } = z e_1 - x e_3 \text{ Rotación en torno al eje y } \underline{ \xi } = e_0 \text{ Traslación tiempo } \underline{ \xi } = x e_0 + ct e_1 \text{ Boost x } \underline{ \xi } = y e_0 + ct e_2 \text{ Boost y } \underline{ \xi } = z e_0 + ct e_3 \text{ Boost z }

Capítulo 26: killings: cantidades conservadas

(26.1) Geodésicas \underline{a} = 0 \frac{d}{ d \tau } \left( \underline{u} \right) = \underline{a}
(26.2) Tensor simétrico
(definición)
T_{\alpha \beta} = T_{\beta \alpha} T^{\alpha \beta} = T^{\beta \alpha} Tensor anti-simétrico
(definición)
T_{\alpha \beta} = - T_{\beta \alpha} T^{\alpha \beta} = - T^{\beta \alpha}
(26.3) Teorema S^{\alpha \beta} T_{\alpha \beta} = S^{\alpha \beta} \frac{1}{2} \left( T_{\alpha \beta} + T_{\beta \alpha} \right) \text{siendo } S_{\alpha \beta} \text{ un tensor simétrico} Teorema A^{\alpha \beta} T_{\alpha \beta} = A^{\alpha \beta} \frac{1}{2} \left( T_{\alpha \beta} - T_{\beta \alpha} \right) \text{siendo } A_{\alpha \beta} \text{ un tensor anti-simétrico}
(26.4) Vector cuadri-momento
(definición)
\underline{p} = m \underline{u}
(26.5) \underline{p} \cdot \underline{\xi}^{\text{tiempo}} = - \frac{E}{c}
(26.6) Definición de espacio-tiempo estático \text{Si existe un Killing } \underline{\xi} \text{ temporal}

Capítulo 27: killings: Energía y Momento angular

(27.1) Momento angular
conservado para los Killings de Minkowski
L^1 = x^2 p^3 - x^3 p^2 L^2 = x^3 p^1 - x^1 p^3 L^3 = x^1 p^2 - x^2 p^1 nomenclatura x^0 = ct x^1 = x x^2 = y x^3 = z
(27.2) Momento angular relativista
(tensor anti-simétrico)
M^{\alpha \beta} = x^\alpha p^\beta - x^\beta p^\alpha conservado para los Killings de Minkowski
(27.4) Métrica de un espacio-tiempo plano (Minkowski) en coordenadas esféricas ds^2 = -c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2 \right) usando la fórmula 11.3 dx^2 + dy^2 + dz^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d \phi^2 Vectores de Killing \vec{ \xi } = e_\phi \text{ Rotación en torno al eje z } \vec{ \xi } = - \sin \phi e_\theta - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cos \phi e_\phi \text{ Rotación en torno al eje x } \vec{ \xi } = \cos \phi e_\theta - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \sin \phi e_\phi \text{ Rotación en torno al eje y }

Capítulo 28: Killings y luz

(28.1) La luz se mueve cumpliendo: ds^2 = 0
(28.2) Cuadri-momento de la luz
para métricas ortogonales
\underline{k} = k^0 e_0 + \sqrt{-g_{00}} \left| k^0 \right| \hat{k}
(28.3) Energía de la luz
para espacio-tiempo de Minkowski
(o espacio-tiempos con métrica ortogonal
y killing temporal = e0)
E = -c k^0 g_{00}
(28.4) Cuadri-momento de la luz
en función de la energía
para espacio-tiempo de Minkowski
(o espacio-tiempos con métrica ortogonal
y killing temporal = e0)
\underline{k} = \frac{E}{c} \left( - \frac{1}{g_{00}} e_0 + \frac{\hat{k}}{\sqrt{-g_{00}}} \right) \underline{k} = \frac{h}{\lambda} \left( - \frac{1}{g_{00}} e_0 + \frac{\hat{k}}{\sqrt{-g_{00}}} \right)
(28.5) Momento angular
conservado para los Killings de Minkowski
L_x \equiv -k^\theta r^2 \sin \phi - k^\phi r^2 \cos \theta \sin \theta \cos \phi L_y \equiv k^\theta r^2 \cos \phi - k^\phi r^2 \cos \theta \sin \theta \sin \phi L_z \equiv k^\theta r^2 \sin^2 \theta
(28.6) En un espacio con simetría esférica \text{\footnotesize Establecemos } \theta = \frac{\pi}{2} Elemento de línea ds^2 = -c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 d\phi^2 Momento angular (conservado) L_x = 0 L_y = 0 L_z = k^\phi r^2

Capítulo 29: Las sorpresas de Rindler

(29.1) Energía de partículas masivas
en la métrica de Rindler
(constante en las geodésicas)
E = m c u^0 x^2 E = m c^2 x^2 \frac{dt}{d\tau} E = m c^2 x^2 \frac{1}{ \sqrt{x^2 - \left( \frac{ \dot{x} }{c} \right) ^2 } } Como magnitud adimensional \hat{E} \equiv \frac{E}{mc^2} \hat{E} = \frac{x^2}{ \sqrt{ x^2 - \left( \frac{ \dot{x} }{c} \right) ^2 } }

Capítulo 30: De Rindler a Schwarzschild

(30.1) Geodésicas nulas
(o de la luz)
ct = \pm \ln \frac{x}{x_0} ver en Wolfram Alpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E2+%3D+ln(x%2F2)%5E2,++0+<+y+<+3,+0+<+x+<+5
(30.2) Ecuación de Poisson \nabla^2 \Phi = 0 \nabla^2 g_{00} = 0

Capítulo 31: Principio de Equivalencia

(31.1) Principio de Equivalencia Débil \text{ Para partículas con masa es imposible discernir si una } \text{ partícula está sometida a los efectos de gravedad } \text{ uniforme o a una aceleración uniforme } \vec{a} = \vec{g} \text{ masa gravitatoria } = \text{ masa inercial }
(31.2) Principio de Equivalencia de Einstein \text{ Para TODA partícula y TODA fuerza es imposible discernir } \text{ si una partícula está sometida a los efectos de gravedad } \text{ uniforme o a una aceleración uniforme } Redefinición de Sistema de Referencia Inercial \text{ Sistema de Referencia en caída libre (Minkowski) }
(31.3) Teorema (Relatividad General) \text{ En la vecindad de cualquier punto p del espacio tiempo } \text{ siempre podemos escoger coordenadas de manera que: } g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} \text{ en el punto p } \eta_{\mu \nu} \equiv \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Seminario Pablo Bueno: Correspondencia Ads/CFT - Parte 1

Notas originales de Pablo (PDF)
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Pablo Bueno - Seminario Correspondencia AdS-CFT.pdf

Seminario Pablo Bueno: Correspondencia Ads/CFT - Parte 2

Notas originales de Pablo (PDF)
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Pablo Bueno - Seminario Correspondencia AdS-CFT.pdf

Seminario Pablo Bueno: Correspondencia Ads/CFT - Parte 3

Notas originales de Pablo (PDF)
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Pablo Bueno - Seminario Correspondencia AdS-CFT.pdf

¿Qué ÁREA miden los habitantes de un CONO?

No hay fórmulas

¿Qué ÁREA miden los habitantes de un TORO ("donut")?

Solución Ejercicios Propuestos (PDF) por Hugo Labella
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Hugo Labella - Christoffel, Riemann, Ricci en un TORO.pdf

Solución Ejercicios Propuestos (PDF) por Roger Balsach
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Métrica Toroidal.pdf

Solución Ejercicios Propuestos (PDF) por Pierre Mihalic
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Pierre Mihalic - Christoffel, Riemann, Ricci en un TORO.pdf

Capítulo 32: Espaciotiempo de Schwarzschild 1

Cálculo de los símbolos de Christoffel del espaciotiempo de Schwarzschild (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - Christofel Agujero negro.pdf

(32.1) Métrica de Schwarzschild ds^2 = -\left( 1 - \frac{2GM}{c^2r} \right) c^2 dt^2 + \frac{1}{1 - \frac{2GM}{c^2r} } dr^2 + r^2 d \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d \phi^2
(32.2) Conexión Métrica a \equiv \frac{2GM}{c^2} e_0 \cdot e_0 = - \left( 1 - \frac{a}{r} \right) e_1 \cdot e_1 = \frac{1}{1 - \frac{a}{r} } e_2 \cdot e_2 = r^2 e_3 \cdot e_3 = r^2 \sin^2 \theta Símbolos de Christoffel \Gamma^0_{01} = \Gamma^0_{10} = \frac{a}{ 2r (r - a) } \Gamma^1_{00} = \frac{a}{ 2r^2 } \left( 1 - \frac{a}{r} \right) \Gamma^2_{12} = \Gamma^2_{21} = \frac{1}{r} \Gamma^3_{13} = \Gamma^3_{31} = \frac{1}{r} \Gamma^1_{11} = \frac{a}{ 2r (a - r) } \Gamma^1_{22} = a - r \Gamma^1_{33} = \left( a - r \right) \sin^2 \theta \Gamma^2_{33} = - \cos \theta \sin \theta \Gamma^3_{23} = \Gamma^3_{32} = \cot \theta \Gamma^0_{01} = \Gamma^0_{10} = \frac{GM}{ r (c^2 r - 2GM) } \Gamma^1_{00} = \frac{GM}{ c^2 r^2 } \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right) \Gamma^2_{12} = \Gamma^2_{21} = \frac{1}{r} \Gamma^3_{13} = \Gamma^3_{31} = \frac{1}{r} \Gamma^1_{11} = \frac{GM}{ r \left( 2GM - c^2 r \right) } \Gamma^1_{22} = \frac{2GM}{c^2} - r \Gamma^1_{33} = \left( \frac{2GM}{c^2} - r \right) \sin^2 \theta \Gamma^2_{33} = - \cos \theta \sin \theta \Gamma^3_{23} = \Gamma^3_{32} = \cot \theta

Capítulo 33: Riemann de Schwarzschild

Cálculo del Tensor de Riemann en el espaciotiempo de Schwarzschild (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - Riemann Schwarzschild.pdf

(33.1) Componentes no nulas del Tensor de Riemann para la métrica de Schwarzschild a \equiv \frac{2GM}{c^2} R^0_{101} = \frac{a}{r \left( r^2 - ar \right) } R^0_{202} = - \frac{a}{2r} R^0_{303}= - \frac{a \sin^2 \theta }{2r} R^1_{221} = \frac{a}{2r} R^1_{331} = \frac{ a \sin^2 \theta }{2r} R^1_{001} = \frac{ a \left( r - a \right) }{r^4} R^2_{121} = \frac{a}{ 2 r^2 \left( a - r \right) } R^2_{332} = - \frac{ a \sin^2 \theta }{r} R^2_{002} = \frac{ a \left( a - r \right) }{ 2 r^4 } R^3_{131} = \frac{a}{ 2 r^2 \left( a - r \right) } R^3_{232} = \frac{a}{r} R^3_{003} = \frac{ a \left( a - r \right) }{ 2 r^4 } R^0_{101} = \frac{2GM}{r^2 \left( -2GM + c^2 r \right) } R^0_{202} = - \frac{GM}{c^2 r} R^0_{303}= - \frac{GM \sin^2 \theta }{c^2 r} R^1_{221} = \frac{GM}{c^2 r} R^1_{331} = \frac{ GM \sin^2 \theta }{c^2 r} R^1_{001} = \frac{ 2GM \left( -2GM + c^2 r \right) }{c^4 r^4} R^2_{121} = \frac{GM}{ r^2 \left( 2GM - c^2 r \right) } R^2_{332} = - \frac{ 2GM \sin^2 \theta }{ c^2 r } R^2_{002} = \frac{ GM \left( 2GM - c^2 r \right) }{ c^4 r^4 } R^3_{131} = \frac{GM}{ r^2 \left( 2GM - c^2 r \right) } R^3_{232} = \frac{2GM}{c^2 r} R^3_{003} = \frac{ GM \left( 2GM - c^2 r \right) }{ c^4 r^4 }

Tutorial de MAXIMA




Descargar wxMaxima
https://wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima/download.html

Capítulo 34: Signficado de la métrica de Schwarzschild

(34.1) Si en la métrica de Schwarzschild fijamos: \theta = \frac{\pi}{2} Obtenemos: a \equiv \frac{2GM}{c^2} ds^2 = -\left( 1 - \frac{a}{r} \right) c^2 dt^2 + \frac{1}{1 - \frac{a}{r} } dr^2 + r^2 d \phi^2 En cualquier instante t = constante: dl^2 = \frac{1}{ 1 - \frac{a}{r} } dr^2 + r^2 d \phi^2
(34.2) Paraboloide de Flamm x^2 + y^2 = \left( a + \frac{z^2}{4a} \right)^2 ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+0.05+%2B+(z%5E2%2F0.2)%5E2

Capítulo 35: ¿Cómo afecta la GRAVEDAD al TIEMPO?

(35.1) Relación entre incremento
de tiempo coordenado y propio
\Delta \tau = \sqrt{ 1 - \frac{a}{r} } \Delta t En el infinito (r ~ ∞): \Delta \tau = \Delta t
(35.2) Relación de intervalos de tiempos
entre un observador a distancia r y
un observador en el infinito
T_{\infty} = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{a}{r} } } T_{r} Para longitudes de onda: \lambda_{\infty} = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{a}{r} } } \lambda_{r}

Capítulo 36: La gravedad según NEWTON

(36.1) Energía (conservada) E = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{GMm}{r} E = \frac{1}{2} m \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) - \frac{GMm}{r}
(36.2) Momento angular
(componente constante
en el eje z)
L = m r^2 \dot{\phi}
(36.3) Reduciendo el problema a 1 dimensión (r) E = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \frac{ L^2 }{ 2 m r^2 } - \frac{ G M m }{ r }
(36.4) Energía Potencial V \left( r \right) = \frac{ L^2 }{ 2 m r^2 } - \frac{ G M m }{ r } ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+(1%2F(2*(x%5E2)))+-+(1%2Fx),+0+%3C+x+%3C+5

Capítulo 37: SOLUCIÓN ANALÍTICA

(37.1) Posición radial en función del ángulo r \left( \phi \right) = \frac{L^2} { G M m^2 \left( 1 + \varepsilon \cos \phi \right) }

Capítulo 38: Órbitas en Schwarzschild (1/3)

(38.1) Para expresar la fórmula (34.1)
en unidades adimensionales, definimos:
\hat{r} \equiv \frac{r}{a} \left[ \hat{r} \right] = 1 a \equiv \frac{2GM}{c^2} \hat{t} \equiv \frac{ct}{a} \left[ \hat{t} \right] = 1 c = 1 \hat{\tau} \equiv \frac{c\tau}{a} \left[ \hat{\tau} \right] = 1 2GM = 1 De esta forma la fórmula no depende de c, G, M, m: d \hat{\tau}^2 = \left( 1 - \frac{1}{\hat{r}} \right) d \hat{t}^2 - \frac{1}{ 1 - \frac{1}{\hat{r}} } d \hat{r}^2 - \hat{r}^2 d\phi^2 Que, a partir de ahora, simplificaremos sin los gorritos,
teniendo en cuenta que tendremos que aplicar las
definiciones de arriba para obtener los valores en el S.I.
d \tau^2 = \left( 1 - \frac{1}{r} \right) d t^2 - \frac{1}{ 1 - \frac{1}{r} } d r^2 - r^2 d\phi^2
(38.2) Vectores de Killing
Tomando las coordenadas:
\left( x^0, x^1, x^3 \right) = \left( ct, r, \phi \right) Usando la fórmula (27.4) y,
teniendo en cuenta la restricción
θ = π / 2,
el vector de killing que queda es:
\underline{\xi} = e_{3} Además, el killing temporal es: \underline{\xi} = e_{0}
(38.3) Usando la fórmula (26.5)
con los killings:
\frac{dt}{d \tau} = \frac{E}{ mc^2 \left( 1 - \frac{a}{r} \right) } \frac{d \phi}{d \tau} = \frac{L}{mr^2} En S.I. ya que aparecen m, c y a
(38.4) Las versiones adimensionales
de la energía y el momento angular:
\hat{E} = \frac{E}{mc^2} \hat{L} = \frac{L}{mac}
(38.5) Expresando las fórmulas (38.3)
en unidades adimensionales:
\frac{dt}{d \tau} = \frac{E}{ \left( 1 - \frac{1}{r} \right) } \frac{d \phi}{d \tau} = \frac{L}{r^2}
(38.6) Definiendo ε (constante): \varepsilon \equiv E^2 - 1 Obtenemos: \varepsilon = \left( \frac{dr}{d\tau} \right) ^2 + \frac{L^2}{r^2} - \frac{1}{r} - \frac{L^2}{r^3}
(38.7) \frac{ d^2 \hat{u} }{ d \phi^2 } + \hat{u} = \frac{1}{ 2 \hat{L} ^2 } + \frac{ 3 \hat{u}^2 }{2} En unidades del S.I.: \frac{ d^2 u }{ d \phi^2 } + u = \frac{GMm^2}{L^2} + \frac{3GM}{c^2} u^2

Capítulo 39: Órbitas en Schwarzschild (2/3)

(39.1) Energía potencial (eficaz) V(r) = L^2 r^{-2} - r^{-1} - L^2 r^{-3} En el caso L2 ≥ 3, aparecen
los valores máximo (rc1) y mínimo (rc2):
r_{c1} = L^2 + L \sqrt{ L^2 - 3 } r_{c2} = L^2 - L \sqrt{ L^2 - 3 } Si L2 = 3, tenemos un punto de inflexión: r = L^2
(39.2) Gráficas de las energías en función del radio: Para L2 = 0 (órbitas radiales):
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B-1%2Fx,+2%7D,%7Bx,0,10%7D%5D
\varepsilon > 0
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B-1%2Fx,+0%7D,%7Bx,0,100%7D%5D
\varepsilon = 0
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B-1%2Fx,-0.5%7D,%7Bx,0,4%7D%5D
\varepsilon < 0
Para L2 = 3 (órbitas espirales):
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B3%2Fx%5E2-1%2Fx-3%2Fx%5E3,+0.05%7D,%7Bx,0,20%7D,%7By,-0.25,0.1%7D%5D
\varepsilon > 0
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B3%2Fx%5E2-1%2Fx-3%2Fx%5E3,+0%7D,%7Bx,0,20%7D,%7By,-0.25,0.1%7D%5D
\varepsilon = 0
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B3%2Fx%5E2-1%2Fx-3%2Fx%5E3,-0.14%7D,%7Bx,0,20%7D,%7By,-0.25,0.1%7D%5D
\varepsilon < 0
Para 3 < L2 < 4:
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B3.5%2Fx%5E2-1%2Fx-3.5%2Fx%5E3,+0.02%7D,%7Bx,0,25%7D,%7By,-0.15,0.05%7D%5D
\varepsilon > 0
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B3.5%2Fx%5E2-1%2Fx-3.5%2Fx%5E3,-0.04%7D,%7Bx,0,25%7D,%7By,-0.15,0%7D%5D
0 < \varepsilon < \text{ máximo local}
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B3.5%2Fx%5E2-1%2Fx-3.5%2Fx%5E3,-0.12%7D,%7Bx,0,15%7D,%7By,-0.15,0%7D%5D
\varepsilon < \text{ minimo local}
\text{(Posible) Órbitas elípticas (con precesión)}
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B3.5%2Fx%5E2-1%2Fx-3.5%2Fx%5E3,-0.06%7D,%7Bx,0,15%7D,%7By,-0.15,0%7D%5D
\varepsilon = \text{ máximo local}
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B3.5%2Fx%5E2-1%2Fx-3.5%2Fx%5E3,-0.07%7D,%7Bx,0,15%7D,%7By,-0.15,0%7D%5D
\text{mínimo local } < \varepsilon < \text{ máximo local}
\text{(Posible) Órbita circular}
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B3.5%2Fx%5E2-1%2Fx-3.5%2Fx%5E3,-0.0880728%7D,%7Bx,0,15%7D,%7By,-0.1,0%7D%5D
\varepsilon = \text{ mínimo local}
Para L2 = 4 (L = 2):
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B4%2Fx%5E2-1%2Fx-4%2Fx%5E3,0%7D,%7Bx,0,15%7D,%7By,-0.15,0.02%7D%5D
\varepsilon = 0
\text{(Posible) Órbita elíptica (con precesión)}
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B4%2Fx%5E2-1%2Fx-4%2Fx%5E3,-0.05%7D,%7Bx,0,20%7D,%7By,-0.15,0.02%7D%5D
\text{mínimo local } < \varepsilon < \text{ máximo global}
\text{(Posible) Órbita circular}
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B4%2Fx%5E2-1%2Fx-4%2Fx%5E3,-0.074074074%7D,%7Bx,0,20%7D,%7By,-0.15,0.02%7D%5D
\varepsilon = \text{ mínimo local}
Para L2 > 4 (L > 2):
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B4.5%2Fx%5E2-1%2Fx-4.5%2Fx%5E3,0.08%7D,%7Bx,0,15%7D,%7By,-0.15,0.1%7D%5D
\varepsilon > \text{ máximo global}
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B4.5%2Fx%5E2-1%2Fx-4.5%2Fx%5E3,0.03%7D,%7Bx,0,15%7D,%7By,-0.15,0.1%7D%5D
0 < \varepsilon < \text{ máximo global}
\text{(Posible) Órbita elíptica (con precesión)}
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B4.5%2Fx%5E2-1%2Fx-4.5%2Fx%5E3,-0.04%7D,%7Bx,0,25%7D,%7By,-0.15,0.1%7D%5D
\text{mínimo local } < \varepsilon < 0
\text{(Posible) Órbita circular estable}
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B4.5%2Fx%5E2-1%2Fx-4.5%2Fx%5E3,-0.06415003%7D,%7Bx,0,25%7D,%7By,-0.15,0.1%7D%5D
\varepsilon = \text{ mínimo local}
\text{(Posible) Órbita circular inestable}
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B4.5%2Fx%5E2-1%2Fx-4.5%2Fx%5E3,0.06415003%7D,%7Bx,0,25%7D,%7By,-0.15,0.1%7D%5D
\varepsilon = \text{ máximo global}

Capítulo 40: Órbitas en Schwarzschild (3/3)

Ver fórmulas del capítulo 28

(40.1) Cuadri-momento de la luz: \underline{k} = \frac{ dx^{\alpha} }{ d \lambda } e_{\alpha}
(40.2) Parámetro λ adimensional: \hat{ \lambda } = \frac{ \lambda Mc }{a} Unidades: \left[ \lambda \right] = \frac{ \text{Masa} }{ \text{Tiempo} } = \frac{ \text{seg} }{ \text{Kg} } \text{ (en S.I.)} \left[ \hat{\lambda} \right] = 1
(40.3) Killing temporal: \underline{k} \cdot e_0 = - \frac{E}{c} Con unidades adimensionales: \frac{ d \hat{t} }{ d \hat{\lambda}} = \frac{ \hat{E} }{ \left( 1 - \frac{1}{ \hat{r} } \right) } Con: \hat{E} \equiv \frac{E}{Mc^2}
(40.4) Killing angular: \underline{k} \cdot e_3 = L Con unidades adimensionales: \frac{ d \phi }{ d \hat{\lambda}} = \frac{ \hat{L} }{ \hat{r}^2 } Con: \hat{L} \equiv \frac{L}{Mca}
(40.5) Definiendo ε (constante): \varepsilon \equiv E^2 Obtenemos: \varepsilon = \left( \frac{dr}{ d \lambda } \right) ^2 + \frac{L^2}{r^2} \left( 1 - \frac{1}{r} \right)
(40.6) Energía potencial: V(r) = L^2 \left( \frac{1}{r^2} - \frac{1}{r^3} \right) En el caso L ≠ 0 aparece un valor máximo en: r = \frac{3}{2} Gráficas de las energías en función del radio:
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B1%2Fx%5E2-1%2Fx%5E3,0.5%7D,%7Bx,0,8%7D%5D
\varepsilon > V_{ \text{max} }
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B1%2Fx%5E2-1%2Fx%5E3,0.05%7D,%7Bx,0,8%7D,%7By,-0.02,0.2%7D%5D
0 < \varepsilon < V_{ \text{max} }
\text{Fotoesfera}
ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7B1%2Fx%5E2-1%2Fx%5E3,0.148148148%7D,%7Bx,0,8%7D%5D
\varepsilon = V_{ \text{max} }

Capítulo 41: Ejercicio propuesto

(41.1) Ejercicio propuesto
P1. Considera una partícula libre que cae radialmente en el espaciotiempo de Schwarzschild.
  1. Calcula su velocidad en coordenadas de Schwarzschild
  2. Pasa a una base ortonormal de co-vectores asociada a un observador estático y calcula la velocidad de la partícula en esta base
  3. Desde la base anterior pasa a una base ortonormal de co-vectores comóvil con la partícula
NOTA: Fija las coordenadas angulares

Capítulo 42: Solución ejercicio propuesto

(42.1) Solución al ejercicio del Capítulo 41 Click para mostrar la solución \text{a) } v = \left( 1 - \frac{1}{r} \right) \sqrt{ 1 - \frac{1}{E^2} \left( 1 - \frac{1}{r} \right) } \text{b) } v = \sqrt{ 1 - \frac{1}{E^2} \left( 1 - \frac{1}{r} \right) } \overline{e}_0 = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{r} } } e_0 \overline{e}_1 = \sqrt{ 1 - \frac{1}{r} } e_1 \text{c) } \widetilde{e}_0 = \frac{E}{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{r} } } \overline{e}_0 + \left( \sqrt{ \frac{E^2}{ 1 - \frac{1}{r} } - 1 } \right) \overline{e}_1 \widetilde{e}_1 = \left( \sqrt{ \frac{E^2}{ 1 - \frac{1}{r} } - 1 } \right) \overline{e}_0 + \frac{E}{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{r} } } \overline{e}_1

Capítulo 43: Aceleración de un observador estático

(43.1) Un observador está definido a partir de
una base ortonormal de 4 cuadri-vectores:
\{ \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} \alpha_0 \cdot \alpha_0 = -1 \alpha_1 \cdot \alpha_1 = \alpha_2 \cdot \alpha_2 = \alpha_3 \cdot \alpha_3 = 1 \alpha_i \cdot \alpha_j = 0, i \neq j
(43.2) La base coordenada
corresponde a un observador lejano:
\{ e_0, e_1, e_2, e_3 \}
(43.3) Un observador estático debe cumplir: r \text{ fija, } \phi \text{ fija, } \theta \text{ fija} \text{para todo instante } t Lo cual no sigue ninguna geodésica,
por lo que es necesario que
experimente una aceleración
(43.4) Espaciotiempo estático
Aquel en el que existen unas coordenadas
en las cuales los coeficientes de la
métrica no dependen del tiempo
o lo que es equivalente:
Existe un Killing temporal
(43.5) Cuadrivelocidad de
un observador estático
\underline{u} = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{r} } } e_0
(43.6) Aceleración experimentada
por un observador estático
expresado en la base coordenada
(unidades adimensionales):
\underline{a} = \frac{1}{2r^2} e_1 Expresado en la base del observador
(unidades adimensionales):
\underline{a} = \frac{1}{2r^2} \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{r} } } \overline{e}_1 Expresado en la base del observador
(unidades del S.I.):
a = \frac{GM}{r^2} \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{2GM}{c^2 r} } }

Capítulo 44: Entrando en un agujero negro (1/2)

(44.1) Surface Gravity
Aceleración que ha de tener un observador estático
en el horizonte de eventos para no caer, vista por
un observador en el infinito
.
(44.2) Surface gravity de un
agujero negro de Schwarzschild
K = \frac{c^4}{4GM} En coordenadas adimensionales: K = \frac{1}{2} Definiendo: f(r) = 1 - \frac{1}{r} Tenemos: K = \frac{1}{2} f'(1)
(44.3) Métrica (aproximada) en las cercanías
del horizonte de eventos:
ds^2 \simeq - \rho^2 d \eta^2 + d \rho^2 + d\Omega^2 siendo: \eta \equiv Kt con: \rho \simeq \frac{2}{ \sqrt{ 2K } } \sqrt{ r - 1 }
(44.4) Símbolos de Christoffel de Rindler \Gamma^\eta_{ \rho \eta } = \frac{1}{\rho} \Gamma^\rho_{ \eta \eta } = \rho Ver fórmula (22.7)
(44.5) Aceleración que ha de tener
un observador estático
en coordenadas de Rindler
\underline{a} = \frac{1}{\rho} e_\rho

Capítulo 45: Entrando en un agujero negro (2/2)

(45.1) Aproximacion de la métrica dentro del agujero negro,
en las cercanías del horizonte de sucesos
ds^2 \simeq - \frac{1}{ 1 - r } dr^2 + \left( 1 - r \right) dt^2 + d \Omega^2
(45.2) Aplicando a la fórmula (45.1)
el siguiente cambio de coordenadas:
u \equiv 2 \sqrt{ 1 - r} v \equiv \frac{t}{2} Obtenemos: ds^2 \simeq - du^2 + u^2 dv^2
(45.3) Aplicando a la fórmula (45.2)
el siguiente cambio de coordenadas:
T = u \cosh{v} X = u \sinh{v} Obtenemos: ds^2 \simeq - dT^2 + dX^2
(45.4) Cambio de coordenadas en la zona II T = \sqrt{ 1 - r } e^\frac{r}{2} \cosh{ \frac{t}{2} } X = \sqrt{ 1 - r } e^\frac{r}{2} \sinh{ \frac{t}{2} }
(45.5) Métrica de Kruskal-Szekeres ds^2 = \frac{4}{r} e^{-r} \left( - dT^2 + dX^2 \right) T^2 - X^2 = \left( 1 - r \right) e^r
(45.6) Singularidad en las
coordenadas de Kruskal-Szekeres
T^2 - X^2 = 1 \left( r = 0 \right) ver en Wolfram Alpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+sqrt(1+%2B+x%5E2)

Capítulo 46: Agujero de Gusano de Einstein-Rosen

Código MATLAB: Zonas Agujero Negro
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Zonas Agujero Negro.m

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 46 Resumen-Zonas y Agujeros gusano.pdf

Einstein, A., & Rosen, N. (1935). The Particle Problem in the General Theory of Relativity (Sci-Hub)
https://sci-hub.tw/10.1103/PhysRev.48.73

(46.1) Cambio de coordenadas en la zona I T = \sqrt{ r - 1 } e^\frac{r}{2} \sinh{ \frac{t}{2} } X = \sqrt{ r - 1 } e^\frac{r}{2} \cosh{ \frac{t}{2} }
(46.2) Cambio de coordenadas en la zona II T = \sqrt{ 1 - r } e^\frac{r}{2} \cosh{ \frac{t}{2} } X = \sqrt{ 1 - r } e^\frac{r}{2} \sinh{ \frac{t}{2} }
(46.3) Cambio de coordenadas en la zona III T = - \sqrt{ r - 1 } e^\frac{r}{2} \sinh{ \frac{t}{2} } X = - \sqrt{ r - 1 } e^\frac{r}{2} \cosh{ \frac{t}{2} }
(46.4) Cambio de coordenadas en la zona IV T = - \sqrt{ 1 - r } e^\frac{r}{2} \cosh{ \frac{t}{2} } X = - \sqrt{ 1 - r } e^\frac{r}{2} \sinh{ \frac{t}{2} }
(46.5) Métrica de Einstein-Rosen ds^2 = - \frac{ u^2 }{ 4 + u^2 } dt^2 + \frac{ 4 + u^2 }{4} du^2 + \left( 1 + \frac{u^2}{4} \right)^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2 \right) Cambio de coordenadas: r = 1 + \frac{u^2}{4}
(46.7) Aplicando a al fórmula (46.6)
el siguiente cambio de coordenadas:
T = \frac{u}{2} e^{ \frac{1}{2} + \frac{u^2}{8} } \sinh{ \frac{t}{2} } X = \frac{u}{2} e^{ \frac{1}{2} + \frac{u^2}{8} } \cosh{ \frac{t}{2} } Obtenemos: ds^2 = \frac{4}{ 1 + \frac{u^2}{4} } e^{ - \left( 1 + \frac{u^2}{4} \right) } \left( -dT^2 + dX^2 \right) + r^2 d\Omega^2 X^2 - T^2 = \frac{u^2}{4} e^{ 1 + \frac{u^2}{4} }
(46.8) Fijando θ y φ: ds^2 = - f dt^2 + g du^2 Con: f = \frac{u^2}{4 + u^2} g = \frac{4 + u^2}{4}
(46.9) Geodésicas radiales \frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{f} \frac{du}{d\tau} = \frac{-4}{ u \sqrt{ 4 + u^2 } }
(46.10) Velocidad radial observada
por un observador lejano:
v = - \frac{4u}{ \left( 4 + u^2 \right)^{ \frac{3}{2} } }
(46.11) Velocidad radial observada
por un observador estático:
v = \frac{2}{ \sqrt{ 4 + u^2 } }

Capítulo 47: Diagramas de Penrose

Código MATLAB: Diagrama de Penrose
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Diagrama de Penrose.m

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 47 Resumen-Diagrama Penrose Minkowski.pdf

(47.1) Cuadri-momento de la luz fijando θ = π/2: \underline{k} = A e_0 + \sqrt{ A^2 - \frac{1}{r^2} B^2 } e_1 + \frac{B}{r^2} e_3 Con: \frac{dt}{d\lambda} = A \frac{dr}{d\lambda} = \sqrt{ A^2 - \frac{1}{r^2} B^2 } \frac{dt}{d\lambda} = \frac{B}{r^2}
(47.2) Geodésica de la luz: t - t_0 = \sqrt{ r^2 - \left( \frac{B}{A} \right)^2 }
(47.3) Métrica en las coordenadas del diagrama de Penrose: ds^2 = \frac{ -dT^2 + dX^2 } { \left( 1 - \left( T + X \right)^2 \right) \left( 1 - \left( T - X \right)^2 \right) } Siendo: u = T + X v = T - X Siendo: u = \tanh{q} v = \tanh{p} Siendo: p = t - r q = t + r

Capítulo 48: Diagrama de Penrose de un AGUJERO NEGRO

Código MATLAB: Diagrama de Penrose de un Agujero Negro
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Diagrama de Penrose Agujero Negro.m

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 48 Resumen-Diagrama Penrose Kruskal.pdf

No hay fórmulas

Capítulo 49: Ecuación de Continuidad

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 49 Resumen-Ecuación Continuidad.pdf

(49.1) Ecuación de continuidad \frac{ \partial{\rho} }{ \partial{t} } + \vec{\nabla} \cdot \vec{J} = 0
(49.2) Cuadri-vector J
en las coordenadas de
un observador en reposo:
\underline{J} = \rho_0 c e_0'
(49.3) Cuadri-vector J
en las coordenadas de
un observador inercial:
\underline{J} = \rho c e_0 + \rho v e_1 Siendo: \rho = \frac{ \rho_0 }{ \sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} } }
(49.4) Cuadri-vector J \underline{J} = \rho c e_0 + \rho v^1 e_1 + \rho v^2 e_2 + \rho v^3 e_3 El cual cumple con la conservación local: \partial_\mu J^\mu = 0

Capítulo 50: Tensor Energía - Momento

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 50 Resumen-Tensor Energía-Momento.pdf

(50.1) Divergencia de un cuadri-vector div \underline{A} = Tr \left( \nabla_\alpha A^\beta \right) = \nabla_\alpha A^\alpha
(50.2) Métrica de Minkowski en coordenadas polares (2D) ds^2 = -c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 Símbolos de Christoffel \Gamma^r_{\theta\theta} = -r \Gamma^\theta_{\theta r} = \frac{1}{r}
(50.3) Divergencia de un cuadri-vector en coordenadas polares div \underline{A} = \partial_r A^r + \partial_\theta A^\theta + \frac{1}{r} A^r La versión de los libros \underline{A} = a^r \hat{e}_r + a^\theta \hat{e}_\theta div \underline{A} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r a^r \right) + \frac{1}{r} \frac{\partial a^\theta}{\partial \theta}
(50.4) Ecuación de continuidad
para coordenadas de Minkowski
\nabla_\alpha J^\alpha = 0
(50.5) Ecuación de continuidad
de un cuadri-vector en coordenadas polares
\underline{J} = \rho c e_0 + \rho v^r e_r + \rho v^\theta e_\theta \nabla_\alpha J^\alpha = \partial_0 \left( \rho c \right) + \partial_r \left( \rho v^r \right) + \partial_\theta \left( \rho v^\theta \right) + \frac{1}{r} \rho v^r = 0
(50.6) Ecuación de continuidad
de un cuadri-vector en coordenadas cilíndricas
\underline{J} = \rho c e_0 + \rho v^r e_r + \rho v^\theta e_\theta + \rho v^z e_z \nabla_\alpha J^\alpha = \partial_0 \left( \rho c \right) + \partial_r \left( \rho v^r \right) + \partial_\theta \left( \rho v^\theta \right) + \frac{1}{r} \rho v^r + \partial_z \left( \rho v^z \right) = 0
(50.7) Vector cuadri-momento
en un espacio-tiempo de Minkowski
\underline{p} = m \gamma c e_0 + m \gamma v e_1 Ver fórmula (26.4) \gamma = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} } } u^0 = c \gamma u^1 = v \gamma
(50.8) Energía
de un cuerpo en
caída libre en un
espacio-tiempo
de Minkowski
E = m \gamma c^2
(50.9) Cantidad
de movimiento
de un cuerpo en
caída libre en un
espacio-tiempo
de Minkowski
p = m \gamma v
(50.10) Densidad de masa
de un grupo de partículas
en reposo medido en su
sistema de referencia
(rest frame)
\rho_0 = \frac{Nm}{L_0}
(50.11) Densidad de energía
de un grupo de partículas
en reposo medido en su
sistema de referencia
(rest frame)
\varepsilon_0 = \rho_0 c^2
(50.12) Densidad de masa
de un grupo de partículas
en reposo medido en un
sistema de referencia
inercial (lab frame)
\rho = \rho_0 \gamma
(50.13) Densidad de energía
de un grupo de partículas
en reposo medido en un
sistema de referencia
inercial (lab frame)
\varepsilon = \varepsilon_0 \gamma^2
(50.14) Cuadri-momento p
expresado en términos de
la energía y el momento
\underline{p} = \frac{E}{c} e_0 + p e_1
(50.15) Conservación local
de la energía (ε) en Minkowski
\partial_\mu T^{\mu 0} = 0
(50.16) Densidad de
candidad de movimiento
\pi = \frac{Np}{L}
(50.17) Tensor de enegía momento
de partículas en reposo
y sin interacción entre ellas
\mathbb{T} = \rho_0 \underline{u} \otimes \underline{u}

Capítulo 51: Mensaje para suscriptores

No hay fórmulas

Capítulo 52: Acción de Hilbert-Einstein 1

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 52 Resumen-Acción Hilbert-Einstein 1.pdf

(52.1) Acción de Hilbert-Einstein S[g] = \int d^4 x \sqrt{-g} R
(52.2) Ecuaciones de campo en el vacío R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}R = 0
(52.3) Variación de la raíz de x·y: \delta \left( \sqrt{xy} \right) = \frac{ \sqrt{ x_0 y_o } }{2} \left[ \frac{1}{x_0} \delta x + \frac{1}{y_0} \delta y \right]
(52.4) Variación de la raíz de x1·x2···xn: \delta \left( \sqrt{ x_1 x_2 \cdots x_n} \right) = \frac{ \sqrt{ x_1 x_2 \cdots x_n } }{2} \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \delta x_i
(52.5) Variación de la raíz del
determinante de una matriz diagonal
en función de sus valores propios:
\delta \left( \sqrt{ \det A } \right) = \frac{ \sqrt{ \det A } }{2} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda_i} \delta \lambda_i A = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \cdots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}
(52.6) Variación de la raíz del
determinante de una métrica espacial
(sin tiempo), ver fórmula (2.1):
\delta \left( \sqrt{g} \right) = \frac{ \sqrt{g} }{2} g^{\alpha \beta} \delta g_{\alpha \beta} \det g \equiv g
(52.7) Variación de la raíz del
determinante de una métrica
espacio-temporal:
\delta \left( \sqrt{-g} \right) = \frac{ \sqrt{-g} }{2} g^{\alpha \beta} \delta g_{\alpha \beta} \det g \equiv g
(52.8) Variación de la raíz del
determinante de una métrica
espacio-temporal:
\delta \left( \sqrt{-g} \right) = - \frac{ \sqrt{-g} }{2} g_{\alpha \beta} \delta g^{\alpha \beta} \det g \equiv g

Capítulo 53: Acción de Hilbert-Einstein 2

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 53 Resumen-Acción Hilbert-Einstein 2.pdf

(53.1) Contracción de los símbolos de Christoffel \Gamma_{\mu \nu}^{\mu} = \frac{1}{ \sqrt{-g} } \partial_\nu \sqrt{-g}

Capítulo 54: Acción de Hilbert-Einstein 3

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 54 Resumen-Acción Hilbert-Einstein 3.pdf

(54.1) Tensor de Ricci:
Ver fórmula (16.1)
R_{\sigma \nu} = \partial_\mu \Gamma^\mu_{\nu \sigma} - \partial_\nu \Gamma^\mu_{\mu \sigma} + \Gamma^\mu_{\mu \lambda} \Gamma^\lambda_{\nu \sigma} - \Gamma^\mu_{\nu \lambda} \Gamma^\lambda_{\mu \sigma}
(54.2) Identidad de Palatini
(variación del tensor de Ricci):
\delta R_{\alpha \beta} = \nabla_\lambda \left( \delta \Gamma^\lambda_{\alpha \beta} \right) - \nabla_\beta \left( \delta \Gamma^\lambda_{\lambda \alpha} \right)
(54.3) Variación de la curvatura escalar: \delta R = R_{\alpha \beta} \delta g^{\alpha \beta} + \nabla_a J^a Con: J^a \equiv g^{\alpha \beta} \delta \Gamma^a_{\alpha \beta} - g^{\alpha a} \delta \Gamma^\lambda_{\lambda \alpha}
(54.4) Variación de la acción: \delta S = \int d^4 x \sqrt{-g} \left[ R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R \right] \delta g^{\alpha \beta} + \int d^4 x \ \partial_\lambda \left( \sqrt{-g} \ J^\lambda \right)
(54.5) En una variedad (espacio-tiempo)
cerrada (sin frontera) se cumple:
\int d^4 x \ \partial_\lambda \left( \sqrt{-g} \ J^\lambda \right) = 0
(54.6) Ecuaciones de campo
de Einstein en el vacío:
R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R = 0

Capítulo 55: Acción de Hilbert-Einstein 4

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 55 Resumen-Acción Hilbert-Einstein 4.pdf

(55.1) Métrica inducida: h_{ab} \equiv \frac{ \partial x^\mu }{ \partial y^a } \frac{ \partial x^\nu }{ \partial y^b } g_{\mu \nu}
(55.2) Métrica transversa
(o proyector):
h_{\alpha \beta} \equiv g_{\alpha \beta} - n_\alpha n_\beta

Capítulo 56: Tensor de Curvatura Extrínseca

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 56 Resumen-Término frontera 1 Curvatura externa.pdf

(56.1) Proyector en ℝ3: P_{ij} = \delta_{ij} - n_i n_j
(56.2) Métrica transversa
(o proyector):
h_{\alpha \beta} \equiv g_{\alpha \beta} - n_\alpha n_\beta {h^\alpha}_\beta \equiv \delta^\alpha_\beta - n^\alpha n_\beta
(56.3) Proyección ortogonal: e_\mu^{\perp} = h_\mu^\beta e_\beta
(56.4) Tensor ortogonal: T_\perp^{\mu \nu} \equiv {h^\mu}_\alpha {h^\nu}_\beta T^{\alpha \beta} T^\perp_{\mu \nu} \equiv {h_\mu}^\alpha {h_\nu}^\beta T_{\alpha \beta}
(56.5) Vector de curvatura
extrínseco en ℝ3:
K_{ij} = h_{ik} h_{jp} \partial_k n_p
(56.6) Tensor de curvatura extrínseco
para cualquier variedad del espacio-tiempo:
K_{\mu \nu} = {h_\mu}^\alpha {h_\nu}^\beta \nabla_\alpha n_\beta
(56.7) Tensor de curvatura extrínseco
en función del vector n:
K_{\mu \nu} = \nabla_\mu n_\nu - n_\mu n^\alpha \nabla_\alpha n_\nu
(56.8) Curvatura extrínseca: K \equiv \nabla_\mu n^\mu

Capítulo 57: Gibbons Hawking York

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 57 Resumen-Término frontera 2 GHY.pdf

(57.1) Ejercicio propuesto: \text{Comprobar que:} J^\mu = g^{\alpha \beta} \delta \Gamma^\mu_{\alpha \beta} - g^{\beta \mu} \delta \Gamma^\lambda_{\lambda \beta} = g^{\mu \nu} g^{\alpha \beta} \left( \partial_\alpha \delta g_{\nu \beta} - \partial_\nu \delta g_{\alpha \beta} \right) Soluciones enviadas: Roger Balsach
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 57.pdf
Antonio Gros
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Antonio Gros - Solución Ejercicio Capítulo 57.pdf
Andrés Pinto
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Andres Pinto - Solución Ejercicio Capítulo 57.pdf
Pierre Mihalic
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Pierre Mihalic - Solución Ejercicio Capítulo 57.pdf
Rodolfo Guidobono
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 57.pdf
Celso Júnior
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Celso Junior - Solución Ejercicio Capítulo 57.pdf
(57.2) Dada la acción: S[g] = \int_M d^4 x \sqrt{-g} R + 2 \int_{\partial M} d^3 y \sqrt{|h|} K Su variación es: \delta S = \int_M d^4 x \sqrt{-g} \left( R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R \right) \delta g^{\alpha \beta}

Capítulo 58: Hipervolumen

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 58 Resumen-Hipervolumen, escalar invariante.pdf

(58.1) Valor absoluto del
jacobiano de la transformación:
|J| = \det \left( \frac{ \partial x^\mu }{ \partial x^{\nu'} } \right)
(58.2) Para geometrías Riemannianas
(de tipo espacio, con det g > 0):
\sqrt{g} = |J|
(58.3) Para geometrías Lorentzianas
(o pseudo-Riemannianas, con det g < 0):
\sqrt{-g} = |J|
(58.4) Hipervolumen (o diferencial de volumen)
en variedades pseudo-Riemannianas:
dV \equiv \sqrt{-g} \ d^4 x = \sqrt{-g} \ d^4 y

Capítulo 59: Ecuaciones de Campo & Constante Cosmológica

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 59 Resumen-Ecuaciones campo de Einstein.pdf

(59.1) Métrica de un campo
gravitatorio uniforme y débil:
g_{00} = -1 - \frac{2V}{c^2} g_{11} = g_{22} = g_{33} = 1 \text{\footnotesize resto } = 0 Asumiendo: \frac{V}{c^2} <<< 1
(59.2) Símbolos de Christoffel de (59.1): \Gamma^\alpha_{00} = \frac{1}{c^2} g^{\alpha \mu} \partial_\mu V \Gamma^0_{\beta 0} = \frac{1}{c^2} \frac{1}{ 1 + \frac{2V}{c^2} } \partial_\beta V \text{\footnotesize resto } = 0
(59.3) Ejercicio propuesto: \text{Calcular el resto de componentes} \text{de la aproximación del tensor} \text{de Ricci para la métrica (59.1)} Componente R00: R_{00} \simeq \frac{1}{c^2} \nabla^2 V Soluciones enviadas: Roger Balsach
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 59.pdf
Rodolfo Guidobono
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 59.pdf
(59.4) Ecuación de campo de Einstein: R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\alpha \beta}
(59.5) Acción de (59.4): S[g] = - \frac{c^4}{16 \pi G} \int d^4 x \sqrt{-g} \ R - \frac{c^4}{8 \pi G} \int d^3 y \sqrt{|h|} \ K + \int d^4 x \sqrt{-g} \ \mathscr{L}_m
(59.6) Ecuación de campo de Einstein
con la constante cosmológica:
R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R + g_{\alpha \beta} \Lambda = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\alpha \beta}
(59.7) Acción de (59.6): S[g] = - \frac{c^4}{16 \pi G} \int d^4 x \sqrt{-g} \ \left( R - 2 \Lambda \right) - \frac{c^4}{8 \pi G} \int d^3 y \sqrt{|h|} \ K + \int d^4 x \sqrt{-g} \ \mathscr{L}_m
(59.8) Ejercicio propuesto: \text{Calcular la variación de la acción de (59.7)} Soluciones enviadas: Roger Balsach
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 59.pdf
Rodolfo Guidobono
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 59.pdf

Capítulo 60: Presentación del Curso de Mecánica Teórica

Lista de vídeos del Curso de Mecánica Teórica
https://www.youtube.com/playlist?list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG

Fórmulas del Curso de Mecánica Teórica
https://crul.github.io/CursoMecanicaTeoricaJavierGarcia

Capítulo 61: Anti de Sitter

(61.1) 1-esfera d \Omega^2_{(1)} = d \theta^2
(61.2) 2-esfera d \Omega^2_{(2)} = d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2
(61.3) 3-esfera d \Omega^2_{(3)} = d \alpha^2 + \sin^2 \alpha \left( d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2 \right)
(61.4) 4-esfera d \Omega^2_{(4)} = d \beta^3 + \sin^2 \beta \left( d \alpha^2 + \sin^2 \alpha \left( d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2 \right) \right)
(61.5) Espacio ambiente ℝ2+3 con métrica ds^2 = - \left( dz^0 \right)^2 - \left( dz^4 \right)^2 + \left( dz^1 \right)^2 + \left( dz^2 \right)^2 + \left( dz^3 \right)^2
(61.6) Hiperboloide embebido en ℝ2+3 - \left( z^0 \right)^2 - \left( z^4 \right)^2 + \left( z^1 \right)^2 + \left( z^2 \right)^2 + \left( z^3 \right)^2 = -1 \left( z^0 \right)^2 + \left( z^4 \right)^2 = \cosh^2 \rho \left( z^1 \right)^2 + \left( z^2 \right)^2 + \left( z^3 \right)^2 = \sinh^2 \rho
(61.7) Métricas AdS4
Coordenadas globales I
ds^2_{\text{AdS}_4} = - \cosh^2 \rho \ dt^2 + d \rho^2 + \sinh^2 \rho \ d \Omega^2_{(2)} - \infty < t < \infty \hspace6ex 0 \leq \rho < \infty Coordenadas globales II ds^2_{\text{AdS}_4} = - \left( 1 + r^2 \right) dt^2 + \frac{ dr^2 }{ 1 + r^2 } + r^2 d \Omega^2_{(2)} - \infty < t < \infty \hspace6ex 0 \leq r < \infty
(61.8) Transformación de coordenadas del Parche de Poincaré \begin{aligned} & z^0 = r x^0 \\ & z^1 = r x^1 \\ & z^2 = r x^2 \\ & z^4 - z^3 = r \\ & z^4 + z^3 = \frac{1}{r} + r \left( - \left( x^0 \right)^2 + \left( x^1 \right)^2 + \left( x^2 \right)^2 \right) \\ & r = \frac{1}{z} \\ & ds^2_{\text{AdS}_4} = \frac{1}{z^2} \left( dz^2 - \left( dx^0 \right)^2 + \left( dx^1 \right)^2 + \left( dx^2 \right)^2 \right) \\ \end{aligned}

Capítulo 62: Anti de Sitter, usando MAXIMA

(62.1) Métrica AdS4 (Parche de Poincaré) ds^2_{\text{AdS}_4} = \frac{L^2}{z^2} \left( -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \right)
(62.2) Tensor de Ricci R_{00} = \frac{3}{z^2} R_{11} = - \frac{3}{z^2} R_{22} = - \frac{3}{z^2} R_{33} = - \frac{3}{z^2}
(62.3) Curvatura escalar R = g^{00} R_{00} + g^{11} R_{11} + g^{22} R_{22} + g^{33} R_{33} = \frac{-12}{L^2}
(62.4) Imponiendo Ecuaciones de Einstein \Lambda = \frac{-3}{L^2}
(62.5) Constante cosmológica en AdSD \Lambda = \frac{ -(D - 1)(D - 2) }{ 2L^2 }
(62.6) Ejercicio propuesto \text{Dada la métrica:} ds^2_{\text{AdS}_4} = - \left( 1 + \frac{r^2}{L^2} \right) dt^2 + \frac{dr^2}{ 1 + \frac{r^2}{L^2} } + r^2 d \Omega^2_{(2)} \text{Calcular, usando MAXIMA, el Tensor de Ricci} \text{y comprobar que la constante cosmológica es:} \Lambda = \frac{-3}{L^2} Soluciones enviadas: Roger Balsach
https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 62.pdf

Capítulo 63: La frontera de Anti de Sitter

Espacio-Tiempo de Anti de Sitter (PDF) de Andrés Pinto
https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Andres Pinto - Espacio-Tiempo de Anti de Sitter.pdf

(63.1) Geodésicas radiales
nulas en AdS4
\tan t = \pm \sinh \rho
(63.2) Tiempo en llegar
al infinito espacial
t = \frac{\pi}{2}
(63.3) Geodésicas radiales
materiales en AdS4
\frac{ d\rho }{ d\tau } = \pm \sqrt{ \left( \frac{ E \Big/ m }{ \cosh \rho } \right)^2 - 1 }
(63.4) Radio máximo \cosh \rho_E = \frac{E}{m}
(63.5) Métrica conforme \tan \eta = \sinh \rho ds^2_{\text{AdS}_4} = \frac{1}{ \cos^2 \eta} \left( - dt^2 + d\eta^2 + \sin^2 \eta \ d \Omega^2_{(2)} \right) - \infty < t < \infty \hspace6ex 0 \leq \eta \leq \frac{\pi}{2}
(63.6) Frontera conforme en x = x0 g_{\alpha \beta} (x) = \frac{1}{ \mathcal{Z} (x)^2 } \widetilde{g}_{\alpha \beta} (x) \begin{aligned} &i) &&\mathcal{Z}(x) > 0 \text{ \footnotesize dentro} \\ &ii) &&\mathcal{Z}(x_0) = 0 \\ &iii) &&d\mathcal{Z}(x_0) \neq 0 \\ &iv) &&\widetilde{g}_{\alpha \beta} (x) \text{ \footnotesize posee una frontera en } x_0 \end{aligned}