# Métrica de Schwarzschild

## Inicializar Coordenadas esféricas para el espacio-tiempo:

load(ctensor)$
ct_coords:[ct,r,theta,phi]$
ct_coords;
dim;

## Introducir métrica de Schwarzschild

Métrica lg (l, lower indices) y su inversa ug (u, upper indices).
Se simplifica con la notación en base al radio de Schwarzschild:

a=2*GM/c^2;
lg:ident(4)$
lg[1,1]:-(1-a/r)$
lg[2,2]:1/(1-a/r)$
lg[3,3]:r^2$
lg[4,4]:r^2*sin(theta)^2$
lg;

Cálculo de la métrica inversa:

cmetric()$
ug;

## Símbolos de Christoffel

Cálculo de símbolos de Christoffel de primera especie lcs y de segunda especie mcs (m, mixed indices, el tercer índice es el superior). Se muestran los términos no nulos y omitiendo los simétricos:

christof(all)$

La correspondencia de subíndices es, dado mcs x,y,z es:
   x = 1 + 1er subíndice de Christoffel (?)
   y = 1 + 2er subíndice de Christoffel (?)
   z = 1 + superíndice de Christoffel

## Tensor de Riemann:

riemann(true),ratriemann=true$ratsimp(%);

Usando los índices de los Riemann del Capítulo 33:
(ver fórmulas 16.4)

riem[1,1,2,2];
riem[1,1,3,3];
riem[1,1,4,4];
riem[2,1,2,1];
riem[2,3,2,3];
riem[2,4,2,4];
riem[3,1,3,1];
riem[3,3,2,2];
riem[3,4,3,4];
riem[4,1,4,1];
riem[4,4,2,2];
riem[4,4,3,3];

Para algún caso hay que indicar ratsimp(%) si queremos ver la versión simplificada:

riem[1,1,2,2]$ratsimp(%);

## Tensor de Ricci

La solución de Schwarzschild es para el vacío, debe anularse:

ricci(true)$

ric[1,1]; ratsimp(%);

ric[2,2]; ratsimp(%);

Con parámetro "ratfac" para simplificar directamente:

ricci(true),ratfac=true$

(Dice que es un espacio-tiempo plano o vacío. En este caso está vacío, fuera de la distribución con simetría esférica de masa se entiende, que es donde es aplicable la métrica de Schwarzschild, pero sólo es plano para M=0)﻿