(18.1) Notación relativista
x = (ct, \vec{x}) = (ct, x, y, z) = (x^0, x^1, x^2, x^3)
\vec{x} = (x, y, z) = (x^1, x^2, x^3)
(18.2) En ausencia de gravedad:
\text{Teoría invariante Poincaré} \Longleftrightarrow
\begin{matrix}
\text{Inv. Translaciones} \\
\text{Inv. Transf. Lorentz}
\end{matrix}
(18.3) Transformación de Lorentz en 2D
ct' = \gamma ct - \gamma \beta x
x' = - \gamma \beta ct + \gamma x
\gamma = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \beta^2 } }
\beta = \frac{v}{c}
(18.4) Notación relativista
de la fórmula (18.3)
{x^0}' = \gamma x^0 - \gamma \beta x^1
{x^1}' = - \gamma \beta x^0 + \gamma x^1
En notación compacta:
x' = \Lambda x
x = (ct,x) = \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix}
\Lambda =
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma \beta \\
-\gamma \beta & \gamma
\end{pmatrix}
(18.5) Módulo de un vector de Lorentz A
A = (A^0, A^1) = \begin{pmatrix}A^0 \\ A^1\end{pmatrix}
A \cdot A = \begin{pmatrix}A^0 & A^1\end{pmatrix} \eta \begin{pmatrix}A^0 \\ A^1\end{pmatrix}
\eta \equiv \text{\footnotesize métrica de un espacio-tiempo de Minkowski}
\eta = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
(18.6) Ejercicio propuesto: Comprobar
que el módulo de un vector de Lorentz
se mantiene constante tras
un cambio de coordenadas:
A' \cdot A' = A \cdot A
\eta = \Lambda^T \eta \Lambda
(18.7) Denominación de vectores
de Lorentz en función de su módulo
\text{a) de tipo tiempo (time-like)}
A \cdot A > 0
\text{b) de tipo espacio (space-like)}
A \cdot A < 0
\text{a) de tipo nulo o luz (null, light-like)}
A \cdot A = 0
Nota: si se usa -η (como en R.G.),
las denominaciones cambian
(18.8) Relación entre componentes
contra-variantes y co-variantes
A_0 = A^0
A_1 = -A^1
A_2 = -A^2
A_3 = -A^3
(18.9) Notación compacta
de derivadas parciales
\frac{\partial}{\partial x^0} = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \equiv \partial_0
\frac{\partial}{\partial x^1} = \frac{\partial}{\partial x} \equiv \partial_1
\frac{\partial}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial y} \equiv \partial_2
\frac{\partial}{\partial x^3} = \frac{\partial}{\partial z} \equiv \partial_3
(18.10)
\partial_0 = \partial^0
\partial_1 = -\partial^1
\partial_2 = -\partial^3
\partial_3 = -\partial^3
(18.11)
\text{Una ley es invariante bajo una}
\text{transformación de Lorentz si las ecuaciones}
\text{tienen exactamente la misma forma}
(19.1) Polinomio de Taylor (2D)
f(x + \delta x, y + \delta y) \simeq f(x,y)
+ \frac{\partial f}{\partial x} \delta x
+ \frac{\partial f}{\partial y} \delta y
(19.3) La variación y la derivada conmutan
\delta \left( f` \right) = \left( \delta f \right)'
(19.4) Variación aproximada de una función de funciones
\delta L
= L \left( \phi + \delta \phi, \phi' + \delta \phi' \right) - L \left( \phi, \phi' \right)
\simeq \frac{ \partial L }{ \partial \phi } \delta \phi
+ \frac{ \partial L }{ \partial \phi' } \delta \phi'
(19.5) Funcional
S \left[ f(x) \right] = \int_a^b L \left( f(x), f'(x) \right) dx
(19.6) La variación y la integral conmutan
\delta \int = \int \delta
(19.7) Variación de un funcional
\delta S = \int_a^b
\left[
\frac{ \partial L }{ \partial f }
- \frac{d}{dx} \left( \frac{ \partial L }{ \partial f' } \right)
\right]
df \ dx
(19.8) Notación relativista
d^4x \equiv cdt \ dx \ dy \ dz
(19.9) Funcional de un campo
S \left[ \phi(x) \right] = \int_a^b L \left( \phi(x), \partial_0 \phi, \partial_1 \phi, \partial_2 \phi, \partial_3 \phi \right) d^4 x
(19.10) Variación aproximada de
L \left( \phi(x), \partial_0 \phi, \partial_1 \phi, \partial_2 \phi, \partial_3 \phi \right)
\delta L
\simeq \frac{ \partial L }{ \partial \phi } \delta \phi
+ \frac{ \partial L }{ \partial (\partial_\mu \phi) } \delta (\partial_\mu \phi)
(19.11) Variación de un funcional de un campo
\delta S = \int_a^b
\left[
\frac{ \partial L }{ \partial \phi }
- \partial_\mu \left( \frac{ \partial L }{ \partial (\partial_\mu \phi) } \right)
\right]
\delta \phi \ d^4 x
(19.12) Derivada de un funcional
\frac{ \delta S }{ \delta \phi } \equiv
\frac{ \partial L }{ \partial \phi }
- \partial_\mu \left( \frac{ \partial L }{ \partial (\partial_\mu \phi) } \right)
(19.13) Principio de mínima acción
\text{Las teorías plausibles deben cumplir:}
\frac{ \delta S }{ \delta \phi } = 0
(19.14) Dada la acción:
S = \int d^4 x \ \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \ \partial^\mu \phi
Aplicando el principio de mínima acción (19.13),
obtenemos la ecuación de onda en 4D:
\partial^2_0 \phi - \partial^2_1 \phi - \partial^2_2 \phi - \partial^2_3 \phi = 0
Que es invariante Lorentz debido a que L lo es:
L = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \ \partial^\mu \phi
(35.1) Matriz de rotación 2D
R = \begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
R^{-1} = \begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
(35.2) Rotación
de un punto 2D
\overrightarrow{r}' = R \overrightarrow{r}
(35.3) Campo vectorial euclídeo 2D
\overrightarrow{\phi} \left( \overrightarrow{r} \right) =
\begin{pmatrix}
\phi^1 \left( \overrightarrow{r} \right) \\
\phi^2 \left( \overrightarrow{r} \right)
\end{pmatrix}
(35.4) Rotación de un campo vectorial euclídeo 2D
\overrightarrow{\phi}' \left( \overrightarrow{r}' \right) =
R \overrightarrow{\phi} \left( R^{-1} \overrightarrow{r}' \right)
Explícitamente:
\begin{pmatrix}
\phi^{1'} \left( \overrightarrow{r}' \right) \\
\phi^{2'} \left( \overrightarrow{r}' \right)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\phi^1 \left( R^{-1} \overrightarrow{r}' \right) \\
\phi^2 \left( R^{-1} \overrightarrow{r}' \right)
\end{pmatrix}
(35.5) Transformación
de Lorentz
x^{\mu \prime} = {\Lambda^{\mu \prime}}_\nu x^\nu
(35.6) Campo vectorial
de Lorentz
\phi^\alpha \left( x^\mu \right)
(35.7) Transformación de Lorentz
en un cmapo de Lorentz
\phi^{\alpha \prime} \left( x' \right) =
{\Lambda^{\alpha \prime}}_\nu \phi^\nu \left( \Lambda^{-1} x' \right)
(35.8) 2-Spinor
\psi = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}
(35.9) Spinor transformado
\psi' = M[\Lambda] \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}
Donde las matrices M[Λ] cumplen:
M[ \Lambda_2 \Lambda_1 ] = M[\Lambda_2] M[\Lambda_1]
(35.10) Toy model
m_0 \ m_1 \text{ \footnotesize matrices reales cuadradas tales que:}
m_0^2 = 1
\hspace3ex
m_1^2 = -1
m_0 m_1 = -m_1 m_0
m_0^T = m_0
\hspace3ex
m_1^T = -m_1
m_\alpha m_\beta + m_\beta m_\alpha = 2 g_{\alpha \beta}
(35.11) Transformación M
M = e^{ \frac{\theta}{2} m_0 m_1 } = \cosh \frac{\theta}{2} + m_0 m_1 \sinh \frac{\theta}{2}
M^{-1} = e^{ -\frac{\theta}{2} m_0 m_1 } = \cosh \frac{\theta}{2} - m_0 m_1 \sinh \frac{\theta}{2}
M^T = M
(35.12) Spinor
transformado
\psi' = M \psi
(35.13) Teorema
M m_0 M^{-1} = \cosh \theta \ m_0 - \sinh \theta \ m_1
M m_1 M^{-1} = - \sinh \theta \ m_0 + \cosh \theta \ m_1
(35.14) "Métrica" en el
espacio interno de m0
M^T m_0 M = m_0
(35.15) Spinor dual
\overline{\psi} = \psi^T m_0
(35.16) Spinor dual transformado
\overline{\psi}' = \left( \psi' \right)^T m_0
(35.17) Invariante
\overline{\psi} \psi = \overline{\psi}' \psi'
(35.18) Teorema
M \left( m_0 p^0 + m_1 p^1 \right) M^{-1} =
m_0 p^{0 \prime} + m_1 p^{1 \prime}
(35.19) Invariante
\overline{\psi} \left( m_0 p^0 + m_1 p^1 \right) \psi =
\overline{\psi}' \left( m_0 p^{0 \prime} + m_1 p^{1 \prime} \right) \psi'
(35.20) Prototipo densidad lagrangiana
de un campo spinoral
\mathcal{L} = i \overline{\psi} \left( m_0 \partial^0 + m_1 \partial^1 \right) \psi - m \overline{\psi} \psi
(48.1) Base de vectores del espacio interno
\{e_a(x)\}, \qquad a=1,2,...,N
e_a(x) \text{ es una función de}
\text{las coordinadas } x^\mu \text{ suficientemente "suave".}
(48.2) Vectores en
el espacio interno
\vec{v} = v^a e_a
(48.3) Transformación de
las coordenadas de un vector
v^{a'} = M^{a'}_a v^a
(48.4) Transformación de
los vectores de la base
e_{a'} = M^a_{a'} e_a
(48.5) Matrices de transformación
M^{a'}_a \ \leftarrow \text{ Componentes de la matriz } M
M^{a}_{a'} \ \leftarrow \text{ Componentes de la matriz } M^{-1}
(48.6) Parametrización de
una curva espacio-temporal
x^\mu (\lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}
(48.7) Derivada de los vectores de la base
\frac{d e_a}{d \lambda} = \partial_\mu e_a \frac{d x^\mu}{d \lambda} = \frac{d x^\mu}{d \lambda} \Pi^{b}_{\mu a}(x) e_b(x)
Donde se define la conexión
\partial_\mu e_a = \Pi^b_{\mu a} (x) e_b(x)
(48.8) Derivada de un vector a lo largo de la curva (48.6):
\frac{d \vec{v}}{d \lambda} = \frac{d x^\mu}{d \lambda} \left(\partial_\mu v^a + \Pi^{b}_{\mu a} v^c\right) e_a
(48.9) Transporte paralelo
\text{Dado un vector } \vec{v}(x(\lambda)) \text{ definimos otro } \vec{v}^{\parallel}(\lambda) \text{ que cumpla:}
\text{1) }\vec{v}^\parallel(\lambda=0) = \vec{v}(\lambda=0)
\text{2) }\frac{d\vec{v}^\parallel}{d \lambda} = 0 \Longrightarrow \partial_\mu {v^\parallel}^a + \Pi^a_{\mu c} {v^\parallel}^c = 0
Este vector cumple:
{v^\parallel}^a (x + \delta x) \approx v^a(x) - \Pi^a_{\mu c}(x) v^c (x) \delta x^\mu
(48.10) Derivada covariante
D_\mu v^a = \frac{v^a(x+\delta x) - {v^\parallel}^a(x+\delta x)}{\delta x^\mu} = \partial_\mu v^a + \Pi^a_{\mu b}v^b
\text{Donde } \delta x \text{ es un cuadrivector en la dirección } \mu.
\partial_\mu \vec{v} = (D_\mu v^a)e_a
(48.11) Transformación de la conexión
\text{Si queremos que } \partial_\mu \vec{v} \text{ sea un vector:}
\Pi'_\mu = M \Pi_\mu M^{-1} - (\partial_\mu M) M^{-1}
Donde
\Pi^a_{\mu b} \leftarrow \text{Elemento } a,\ b \text{ de la matriz } \Pi_\mu
(51.1) Momento angular
Newton
\vec{L} = (L_x, L_y, L_z)
L_x = y p_z - z p_y
L_y = z p_x - x p_z
L_z = x p_y - y p_x
(51.2) Relaciones conmutación
[L_i, L_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk}L_k
(51.3) Momento angular generalizado
\text{Conjunto de tres operadores } \{J_i\}_{i=1}^3
\text{que cumplen la ecuación 51.2}
[J_i, J_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk}J_k
J^2 = J_1^2+J_2^2+J_3^2
(51.4) Teorema (Lema de Schur)
[B, J_i]=0, \ \forall i \Longrightarrow B \propto \mathbb{I}
\text{Decimos que } B \text{ es un casimir}.
Entonces
J^2 \text{ es un casimir}
(51.5) Base propia
\text{Sea } \{\ket{\phi_n}\}_{n=1}^N \text{ la base pròpia de } J_3
Entonces
J_3 \ket{\phi_n} = m\hbar \ket{\phi_n}
J^2\ket{\phi_n} = \hbar^2 j(j+1) \ket{\phi_n}
Donde
j = \frac{n}{2}, \qquad n\in \mathbb{N}
m \in \{-j, -j+1, \ldots, j-1, j\}
(51.6) Operadores escalera
J_+\ket{\phi_n} = \alpha_n \ket{\phi_{n+1}}
J_- \ket{\phi_n} = \beta_n \ket{\phi_{n-1}}
Donde
\alpha_n = \hbar \sqrt{j(j+1)-n(n+1)}
\beta_n = \hbar \sqrt{j(j+1)-n(n-1)}=\alpha_{n-1}
(51.7) Propiedades de los operadores escalera
\left.\begin{matrix}J_+ = J_1 + i J_2 \\
J_- = J_1 - i J_2\end{matrix}\right\} \Longleftrightarrow
\left\{\begin{matrix}J_1 = \frac{1}{2}(J_++J_-) \\
J_2 = \frac{1}{2i}(J_+-J_-)\end{matrix}\right.
J_-=J_+^\dag
[J_3, J_+] = \hbar J_+
[J_3, J_-] = -\hbar J_-
[J_+, J_-] = 2\hbar J_3
(51.8) Notación Estándar
\text{Los estados } \{\ket{\phi_n}\} \text{ se suelen escribir en función}
\text{de los valores propios de } J_3 \text{ y } J^2.
\ket{\phi_n} \rightarrow \ket{j, m}
De forma que
J_3 \ket{j, m} = \hbar m \ket{j, m}
J^2 \ket{j, m} = \hbar^2 j(j+1) \ket{j, m}
(52.1) Componentes de los operadores momento angular
\braket{j,m'\vert J_+ \vert j,m} = \hbar \sqrt{j(j+1)-mm'}\delta_{m',m+1}
\braket{j,m'\vert J_- \vert j,m} = \hbar \sqrt{j(j+1)-mm'}\delta_{m',m-1}
\braket{j,m'\vert J_1 \vert j,m} = \frac{\hbar}{2} \sqrt{j(j+1)-mm'}\left(\delta_{m',m+1}+\delta_{m',m-1}\right)
\braket{j,m'\vert J_2 \vert j,m} = \frac{\hbar}{2i} \sqrt{j(j+1)-mm'}\left(\delta_{m',m+1}-\delta_{m',m-1}\right)
\braket{j,m'\vert J_3 \vert j,m} = \frac{\hbar}{2} m \delta_{m',m}
(52.2) Matrices asociadas a un operador
\text{La matriz asociada a un operador } M
\text{ actuando sobre un espacio con base } \mathscr{B}=\{\ket{n}\}_{n=1}^N \text{ es}
M = \begin{pmatrix}
\braket{1\vert M \vert 1} & \braket{1\vert M \vert 2} & \cdots & \braket{1\vert M \vert N}\\
\braket{2\vert M \vert 1} & \braket{2\vert M \vert 2} & \cdots & \braket{2\vert M \vert N}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\braket{N\vert M \vert 1} & \braket{N\vert M \vert 2} & \cdots & \braket{N\vert M \vert N}
\end{pmatrix}
\text{Es decir, sus componentes vendrán dadas por}
M_{ij} = \braket{i \vert M \vert j}
(52.3) Matrices asociadas al operador
momento angular I
\text{Escogiendo la base}
\mathscr{B}=\{\ket{j,m}\}_{m=j}^{-j}
J_1^{1/2} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0\\
\end{pmatrix}
J_2^{1/2} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0\\
\end{pmatrix}
J_3^{1/2} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1\\
\end{pmatrix}
(52.4) Matrices asociadas al operador
momento angular II
J_1^{1} = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}
J_2^{1} = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
0 & -i & 0\\
i & 0 & -i\\
0 & i & 0\\
\end{pmatrix}
J_3^{1} = \hbar\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix}
(52.5) Matrices asociadas al operador
momento angular III
J_1^{3/2} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}
0 & \sqrt{3} & 0 & 0\\
\sqrt{3} & 0 & 2 & 0\\
0 & 2 & 0 & \sqrt{3}\\
0 & 0 & \sqrt{3} & 0\\
\end{pmatrix}
J_2^{3/2} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}
0 & -i\sqrt{3} & 0 & 0\\
i\sqrt{3} & 0 & -2i & 0\\
0 & 2i & 0 & -i\sqrt{3}\\
0 & 0 & i\sqrt{3} & 0\\
\end{pmatrix}
J_3^{3/2} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -3\\
\end{pmatrix}
(52.6) Suma momento angular
\text{Dado un sistema con momento angular } \vec{J}^A \text{ actuando sobre un espacio } \mathcal{H}^A,
\text{y otro sistema con momento angular} \vec{J}^B \text{ actuando sobre un espacio } \mathcal{H}^B.
El sistema conjunto tendrá momento angular dado por los operadores
\vec{J}^A + \vec{J}^B = \vec{J}^A\otimes \mathbb{I}_B + \mathbb{I}_A\otimes \vec{J}^B
Actuando sobre el espacio
\mathcal{H}^A \otimes \mathcal{H}^B
(52.7) Matrices asociadas a la suma
de momentos angulares
j_A \otimes j_B = |j_A + j_B| \oplus |j_A + j_B - 1| \oplus \cdots \oplus |j_A - j_B|
De forma equivalente, la
matriz asociada se puede escribir como
\vec{J}^A + \vec{J}^B = \vec{J}^{j_A+j_B} \oplus \vec{J}^{j_A+j_B-1} \oplus \cdots \oplus \vec{J}^{|j_A-j_B|}
Recordando que
A \oplus B = \begin{pmatrix}
A & 0 \\
0 & B \\
\end{pmatrix}
(52.8) Ejemplo
\frac{1}{2} \otimes 1 = \frac{3}{2} \oplus \frac{1}{2}
J_1 = \begin{pmatrix}
J_1^{3/2} & 0 \\
0 & J_1^{1/2} \\
\end{pmatrix} = \frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{cccc:cc}
0 & \sqrt{3} & 0 & 0 & 0 & 0\\
\sqrt{3} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & \sqrt{3} & 0 & 0\\
0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & 0 & 0\\
\hdashline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
\end{array}\right)
J_2 = \begin{pmatrix}
J_2^{3/2} & 0 \\
0 & J_2^{1/2} \\
\end{pmatrix}
J_3 = \begin{pmatrix}
J_3^{3/2} & 0 \\
0 & J_3^{1/2} \\
\end{pmatrix}
(52.9) Coeficientes de Clebsch-Gordan
\text{La base } \{\ket{j_A, j_B, J, M}\} \text{ del espacio } \mathcal{H}^A\otimes \mathcal{H}^B
\text{se puede relacionar con la base } \{\ket{j_A, m_A}\otimes \ket{j_B, m_B}\}
\ket{j_A, j_B, J, M} = \sum_{m_A, m_B} C_{j_Am_Aj_Bm_B}^{JM}\ket{j_A, m_A}\otimes \ket{j_B, m_B}
C_{j_Am_Aj_Bm_B}^{JM} = \text{Coeficientes de Clebsch-Gordan.}
(53.1) Espacio de Isospín
\mathcal{H} = \{\ket{p}, \ket{n}\}
Un estado arbitrario vendrá dado por
\ket{\psi} = \alpha \ket{p} + \beta \ket{n}
|\alpha|^2+|\beta|^2=1
(53.2) Creación y aniquilación de nucleones
\text{Podemos definir los operadores}
\text{creación y aniquilación de nucleones:}
a_p,\quad a_p^\dag, \quad a_n, \quad a_n^\dag
Con las propiedades
a_p^\dag \ket{0} = \ket{p}, \qquad
a_n^\dag \ket{0} = \ket{n}
a_i a_j^\dag + a_j^\dag a_i = \delta_{ij}
a_i^\dag a_j^\dag + a_j^\dag a_i^\dag = 0, \qquad \forall i,j
a_i a_j + a_j a_i = 0, \qquad \forall i,j
(53.3) Álgebra cerrada
\text{Los operadores } \{a_p^\dag a_p,\ a_n^\dag a_n,\ a_n^\dag a_p,\ a_p^\dag a_n\} \text{ forman un álgebra cerrada.}
Es decir,
[a_i^\dag a_j, a_k^\dag a_l] = \sum_{n,m} \alpha^{nm}_{ijkl} a_n^\dag a_m
[a_p^\dag a_p, a_p^\dag a_n] = a_p^\dag a_n, \qquad [a_p^\dag a_p, a_n^\dag a_p] = -a_n^\dag a_p
[a_n^\dag a_n, a_p^\dag a_n] = -a_p^\dag a_n, \qquad [a_n^\dag a_n, a_n^\dag a_p] = a_n^\dag a_p
[a_p^\dag a_n, a_n^\dag a_p] = a_p^\dag a_p - a_n^\dag a_n
\text{Todos los demás conmutadores son cero,}
\text{ o se obtienen por antisimetría.}
(53.4) Operadores de Isospín
\vec{I} = (I_1, I_2, I_3) = (I_x, I_y, I_z)
I_1 = \frac{1}{2}(a_p^\dag a_n + a_n^\dag a_p)
I_2 = \frac{1}{2i}(a_p^\dag a_n - a_n^\dag a_p)
I_3 = \frac{1}{2}(a_p^\dag a_p - a_n^\dag a_n)
[I_i, I_j] = i \varepsilon_{ijk}I_k
(53.5) Sección eficaz
\text{La probabilidad de que un estado } \ket{IN} \text{ se convierta en otro estado } \ket{OUT}
\text{es proporcional a la cantidad } \sigma(IN \rightarrow OUT).
\sigma(IN \rightarrow OUT) \sim \left|\braket{IN \vert S \vert OUT}\right|^2
S = \begin{pmatrix}
\alpha & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \alpha & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \alpha & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \alpha & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \beta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \beta \\
\end{pmatrix}
(57.1) Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff
\ln{\left(e^Ae^B\right)} = A+B+\frac{1}{2}[A,B]+\frac{1}{12}[A,[A,B]]-\frac{1}{12}[B,[A,B]]
(57.2) Matrices unitarias
U^\dag U = UU^\dag = 1
U^\dag = U^{-1}
(57.3) Grupos unitarios
U(1) = \{e^{i\theta}: \theta \in \mathbb{R}\}
U(N) = \{e^{iB}: B^\dag = B\}
SU(N) = \{e^{iB}: B^\dag = B,\ \text{Tr}\{B\}=0\}
(57.4) Grupo SU(2)
B = a \frac{\sigma_1}{2} + b \frac{\sigma_2}{2} + c \frac{\sigma_3}{2}
\sigma_1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}, \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
\left[\frac{\sigma_i}{2}, \frac{\sigma_j}{2}\right] = i \varepsilon_{ijk}\frac{\sigma_k}{2}
(57.5) Grupo SU(3)
B = a_1 \frac{\lambda_1}{2} + a_2 \frac{\lambda_2}{2} + a_3 \frac{\lambda_3}{2} + a_4 \frac{\lambda_4}{2} + a_5 \frac{\lambda_5}{2} + a_6 \frac{\lambda_6}{2} + a_7 \frac{\lambda_7}{2} + a_8 \frac{\lambda_8}{2}
\left[\frac{\lambda_a}{2}, \frac{\lambda_b}{2}\right] = i f_{abc} \frac{\lambda_c}{2}
f_{abc} = f_{bca} = f_{cab} = -f_{acb}
f_{123} = 1, \qquad f_{147}=f_{165}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=f_{376}=\frac{1}{2},\qquad f_{458}=f_{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}
(57.6) Matrices de Gell-Mann
\lambda_1 = \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad
\lambda_2 = \begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad
\lambda_3 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad
\lambda_4 = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}, \quad
\lambda_5 = \begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}
\lambda_6 = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}, \quad
\lambda_7 = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}, \quad
\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}
(57.7) Propiedades Matrices de Gell-Mann
[\lambda_a, \lambda_b] = 2i f_{abc} \lambda_c
\text{Tr}\{\lambda_a\lambda_b\}=2\delta_{ab}
(S1.1) Definición 1: Álgebra
\text{Un Álgebra es un espacio vectorial } \mathcal{A},
\text{junto con una operación}
\begin{array}{ccc}\mathcal{A}\times \mathcal{A}& \to &\mathcal{A}\\
(a,b)&\mapsto& ab\end{array}
Con las siguientes propiedades:
a(bc)=(ab)c \text{ (Asociativa)}
a(b+c)=ab+ac \text{ (Distributiva-izquierda)}
(b+c)a=ba+ca \text{ (Distributiva-derecha)}
\lambda(ab)=(\lambda a)b=a(\lambda b) \text{ (Bilineal)}
\exists 1_\mathcal{A}\in \mathcal{A}\quad |\quad a 1_{\mathcal{A}}=1_\mathcal{A} a = a \text{ (Unital)}
\forall a, b, c \in \mathcal{A}, \qquad \lambda \in \mathbb{R} \text{ (Real)}
(S1.2) Definición 2: Morfismo de Álgebras
\text{Un morfismo de Álgebras es}
\text{una aplicación lineal}
f:\mathcal{A}_1 \to \mathcal{A}_2
Con las propiedades:
f(ab) = f(a)f(b)
f(1_{\mathcal{A}_1}) = 1_{\mathcal{A}_2}
Isomorfismo
\text{Si la aplicación } f \text{ es invertible}
\text{y la aplicación } f^{-1} \text{ es un morfismo,}
\text{diremos que } \mathcal{A}_1 \text{ es isomorfo a } \mathcal{A}_2
\mathcal{A}_1 \backsimeq \mathcal{A}_2
(S1.3) Definición 3: Álgebra Divisible
\text{Un Álgebra es divisible o de división cuando,}
\text{para todo elemento }a\in\mathcal{A} \text{ distinto de cero,}
\text{existe otro }a^{-1}\in\mathcal{A}\text{ que cumple}
aa^{-1}=a^{-1}a=1_\mathcal{A}
(S1.4) Teorema 4: T. de Frobenius
\text{Las únicas Álgebras (asociativas, reales)}
\text{divisibles de dimensión finita son } \mathbb{R}, \mathbb{C} \text{ y } \mathbb{H}.
Corolario:
\text{Toda Álgebra de Clifford es isomorfa a}
\text{un Álgebra matricial sobre } \mathbb{R}, \mathbb{C} \text{ o } \mathbb{H}.
(S1.5) Definición 5: Espacio Vectorial Cuadrático
\text{Un Espacio Vectorial Cuadrático}
\text{es una pareja } (V,h)\text{. Con } V \text{ un espacio}
\text{vectorial real y }h: V \times V \to \mathbb{R}
\text{ una aplicación bilineal con}
h(v_1,v_2)=h(v_2,v_1)\quad \forall v_1,v_2\in V
h(v,u)=0 \quad\forall u\in V \Longleftrightarrow v=0
(S1.6) Definición 6: Morfismo de EV Cuadrático
\text{Un morfismo de espacios vectoriales}
\text{cuadráticos es una aplicación lineal } f
\begin{array}{cccc} f:&(V_1,h_1)&\to &(V_2,h_2) \\ &v_1&\mapsto &v_2 \end{array}
Con la propiedad
h_2(f(v_1),f(v_2))=h_1(v_1,v_2), \quad \forall v_1, v_2 \in V_1
(S1.7) Definición 7: Grupo Ortogonal
\text{Dado un espacio vectorial cuadrático } (V,h)
\text{se define el grupo ortogonal } O(V,h) \text{ como}
O(V,h)=\left\{f:(V,h)\to (V,h) \text{ isomorfismos} \right\}
\text{con la composición de aplicaciones.}
(S1.8) Definición 8: Determinante
\text{El determinante se define como}
\text{una aplicación entre Álgebras}
\begin{array}{cccc} \det\!:&\text{End}(V)&\to &\mathbb{R} \\ &T&\mapsto &\det{(T)} \end{array}
\text{que preserva la estructura de producto:}
\det{(T_1 T_2)} = \det{(T_1)}\det{(T_2)}
\text{Si restringimos el determinante al grupo}
\text{ortogonal } O(V,h)\subset \text{End}(V)
\text{el determinante solo toma los valores } 1 \text{ y } -1.
\det\!: O(V,h) \to \mathbb{Z}_2
(S1.9) Definición 9: Grupo Ortogonal Especial
\text{El grupo ortogonal especial } SO(V,h) \text{ se define como}
SO(V,h)=\{T\in O(V,h) | \det(T)=1\}
(S1.10) Definición 10: Álgebra de Clifford
\text{Un Álgebra de Clifford asociada a un EV cuadrático } (V,h)
\text{es un par } (\mathcal{A}, j) \text{ con } \mathcal{A} \text{ un Álgebra y } j:(V,h)\to \mathcal{A}
\text{una aplicación lineal inyectiva con propiedades:}
1_{\mathcal{A}}\notin \text{Im}(j)
j(v)^2 = q(v) 1_\mathcal{A}, \quad q(v)=h(v,v)
j(V)=\text{Im}(j) \text{ genera } \mathcal{A}
(S2.1) Definición: Morfismo de Álgebras de Clifford
\text{Dadas dos Álgebras de Clifford; } (\mathcal{A}, j) \text{ asociada al espacio}
\text{vectorial cuadrático } (V, h) \text{ y } (\mathcal{A}', j') \text{ asociada al espacio}
\text{vectorial cuadrático } (V', h') \text{ se define un morfismo de Álgebras}
\text{de Clifford como la pareja } (f, f_0), \text{ con las propiedades:}
f_0: (V,h) \to (V', h') \text{ es un morfismo de espacios vectoriales cuadráticos.}
f: \mathcal{A} \to \mathcal{A}' \text{ es un morfismo de Álgebras.}
\begin{CD}
\mathcal{A} @>f>> \mathcal{A}' \\
@AjAA @AAj'A \\
V @>f_0>> V'
\end{CD}
(f \circ j)(v) = (j' \circ f_0)(v) \qquad \forall v \in V
(S2.2) Definición: Isomorfismo de Álgebras de Clifford
\text{Un morfismo } (f, f_0) \text{ es un isomorfismo si}
f \text{ y } f_0 \text{ son isomorfismos.}
\text{Si existe un isomorfismo entre } (\mathcal{A}, j) \text{ y } (\mathcal{A}', j') \text{ escribimos}
(\mathcal{A}, j) \backsimeq (\mathcal{A}', j')
(S2.3) Definición: Álgebra de Clifford Universal
\text{Un Álgebra de Clifford } (\mathcal{A}, j) \text{ es universal si:}
\text{Para todo espacio vectorial cuadrático } (V', h'), \text{ toda}
\text{Álgebra } (\mathcal{A}', j') \text{ y todo morfismo } T: (V,h) \to (V', h'),
\text{existe un morfismo } \bar{T}: \mathcal{A} \to \mathcal{A}' \text{ tal que } (\bar{T}, T)
\text{es un morfismo de Álgebras de Clifford.}
(S2.4) Proposición
\text{Sean } (\mathcal{A}, j) \text{ y } (\mathcal{A}', j') \text{ Álgebras de Clifford,}
\text{y } T \text{ un morfismo de EV cuadráticos.}
\text{Si existe un morfismo } \bar{T}, \text{ tal que } (\bar{T}, T) \text{ es un}
\text{morfismo de Álgebras de Clifford, entonces } \bar{T} \text{ es único.}
Corolario:
\text{Sean } (\mathcal{A}, j), (\mathcal{A}', j') \text{ Álgebras de Clifford universales,}
\text{entonces } (\mathcal{A}, j) \backsimeq (\mathcal{A}', j')
(S2.5) Teorema
\text{Sea } (V,h) \text{ un espacio vectorial cuadrático.}
\text{Existe una única Álgebra de Clifford universal:}
C\ell (V,h)
(S2.6) Definición
\text{Sea } C\ell(V,h), \text{ y } \{e_i\}_{i=1}^d \text{ una base ortonormal de } V,
\text{definimos el conjunto } P_{\{e_i\}}\sub C\ell(V,h) \text{ como}
P_{\{e_i\}}=\{1_{\mathcal{A}}\} \cup \{e_i\} \cup \{e_ie_j\}_{i < j} \cup \cdots \cup \{e_1\cdots e_d\}
(S2.7) Proposición
\text{Si } (\mathcal{A}, j) \text{ es un Álgebra de Clifford asociada a } (V,h).
\text{Entonces, }\mathcal{A} = \text{Span}\{P_{\{e_i\}}\}.
\text{Además, si los elementos de } P_{\{e_i\}} \text{ son linealmente}
\text{independientes, }\mathcal{A} \text{ es un Álgebra universal.}
Corolario:
\text{Sea } (\mathcal{A}, j) \text{ un Álgebra asociada a } (V, h) \text{ con } \dim{V}=d.
\text{Entonces, si } \dim{\mathcal{A}}=2^d,\ \mathcal{A} \text{ es universal.}