Repositorio de fórmulas para el Curso de Relatividad General de Javier García

(1.1) Base de T_pM \{e_1, e_2, ..., e_N\}

(1.2) Métrica de T_pM g_{ij} = e_i \cdot e_j

(1.3) Longitud
infinitesimal de una curva ds = \sqrt{g_{ij} dx^i dx^j}

(1.4) Parametrización
de una curva x^i \left( \lambda \right)

(1.5) Longitud infinitesimal
de una curva (parametrizada) ds = \sqrt{g_{ij} \frac{dx^i}{d\lambda} \frac{dx^j}{d\lambda}} d \lambda

(1.6) Longitud de una curva (parametrizada) s = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \sqrt{g_{ij} \frac{dx^i}{d\lambda} \frac{dx^j}{d\lambda}} d \lambda

(2.1) Inversa de la métrica g^{ij} = \left( g^{-1} \right)_{ij}

(2.2) Base dual e^i \cdot e_j = \delta^i_j e^i = g^{ij} e_j e_i = g_{ij} e^j

(3.1) Transformación
de coordenadas x^{i'} = x^{i'} \left( x^j \right)

(3.2) Base coordenada e_{i'} = \frac{\partial x^j}{\partial x^{i'}} e_j

(3.3) Base coordenada dual e^{i'} = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^j} e^j

(3.4) \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^j} \frac{\partial x^j}{\partial x^{j'}} = \delta_{j'}^{i'}

(3.5) \frac{\partial x^i}{\partial x^{j'}} \frac{\partial x^{j'}}{\partial x^j} = \delta_j^i

(4.1) Transformación de
componentes de un vector A^{i'}=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^j} A^j A_{i'}=\frac{\partial x^j}{\partial x^{i'}} A_j

(5.1) Producto tensorial de
espacios vectoriales T_pM \otimes T_pM

(5.2) Base del producto tensorial
de espacios vectoriales \{ e_i \otimes e_j \}

(5.3) Base dual del producto tensorial
de espacios vectoriales \{ e^i \otimes e^j \}

(5.4) Bases mixtas del producto tensorial
de espacios vectoriales \{ e_i \otimes e^j \} \quad \{ e^i \otimes e_j \}

(5.5) Tensor de rango 2 tipo (0,2) \mathbb{T} = T_{ij} e^i \otimes e^j

(5.6) Tensor de rango 2 tipo (2,0) \mathbb{T} = T^{ij} e_i \otimes e_j

(5.7) Tensor mixto de rango 2 tipo (1,1) \mathbb{T} = {T^i}_j e_i \otimes e^j

(5.8) Tensor mixto de rango 2 tipo (1,1) \mathbb{T} = {T_i}^{\space j} e^i \otimes e_j

(5.9) Producto escalar de Tensores \mathbb{T} \bullet \mathbb{M} = \left( T_{ij}e^i \otimes e^j \right) \bullet \left( M_{kl} e^k \otimes e^l \right) = T_{ij} M_{kl} g^{ik} g^{jl} = T_{ij} M^{ij}

(5.10) Contracción de un
tensor con un vector T_{ij} A^i

(5.11) Subida y bajada de
índices de un tensor A^i = g^{ij} A_j A_i = g_{ij} A^j T_{mjk} = g_{im} {T^i}_{jk} {T^i}_j \space^m = g^{km} {T^i}_{jk}

(5.12) Transformación de
componentes de un tensor T_{i'j'} = \frac{\partial x^k}{\partial x^{i'}} \frac{\partial x^m}{\partial x^{j'}} T_{km} {T^{i'}}_{j'} = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^k} \frac{\partial x^m}{\partial x^{j'}} {T^k}_m T^{i'j'} = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^k} \frac{\partial x^{j'}}{\partial x^m} T^{km}

I \left[ x^i \left( \lambda \right) \right] =\int_{\lambda_1}^{\lambda_2} f\left( x^i, \frac{dx^i}{d\lambda} \right) d\lambda (6.1) Ecuaciones Euler-Lagrange \frac{\partial f}{\partial x^i} = \frac{d}{d \lambda} \left( \frac {\partial f} {\partial \left( \frac{dx^i}{d \lambda} \right) } \right)

No hay fórmulas

(8.1) u^i \equiv \frac{dx^i}{ds}

(8.2) Geodésicas \frac{du^m}{ds} + \tfrac{1}{2} g^{mi} \left( \partial_k g_{ip} + \partial_p g_{ik} - \partial_i g_{kp} \right) u^k u^p = 0

(9.1) Propuesta de ejercicio
Escribir (no resolver) las ecuaciones de las geodésicas x^1 = x x^2 = y g = \begin{pmatrix} -1 - \frac{b}{y} & 0 \\ 0 & \frac{1}{1 + \frac{b}{y}} \end{pmatrix} \frac{du^m}{ds} + \tfrac{1}{2} g^{mi} \left( \partial_k g_{ip} + \partial_p g_{ik} - \partial_i g_{kp} \right) u^k u^p = 0 En donde: u^1 = \frac{dx^1}{ds} \equiv \frac{dx}{ds} u^2 = \frac{dx^2}{ds} \equiv \frac{dy}{ds}

(10.1) Solución al ejercicio del Capítulo 9 Click para mostrar la solución \ddot{x} - \frac{b}{ \left( 1 + \frac{b}{y} \right) y^2} \dot{x} \dot{y} = 0 \ddot{y} - \frac{b}{2y^2} \left(1 + \frac{b}{y} \right) \left( \dot{x} \right) ^2 + \frac{b}{ 2 \left( 1 + \frac{b}{y} \right) y^2} \left( \dot{y} \right) ^2 = 0

(11.1) Coordenadas esféricas x = R \sin \theta \cos \phi y = R \sin \theta \sin \phi z = R \cos \theta

(11.2) Base coordenada en coordenadas esféricas e_R = \sin \theta \cos \phi e_x + \sin \theta \sin \phi e_y + \cos \theta e_z e_{\theta} = R \cos \theta \cos \phi e_x + R \cos \theta \sin \phi e_y - R \sin \theta e_z e_{\phi} = -R \sin \theta \sin \phi e_x + R \sin \theta \cos \phi e_y a la inversa e_x = \cos \phi \sin \theta e_R + \frac{1}{R} \cos \theta \cos \phi e_\theta - \frac{1}{R} \frac{\sin \phi}{\sin \theta} e_\phi e_y = \sin \phi \sin \theta e_R + \frac{1}{R} \cos \theta \sin \phi e_\theta + \frac{1}{R} \frac{\cos \phi}{\sin \theta} e_\phi e_z = \cos \theta e_R - \frac{1}{R} \sin \theta e_\theta

(11.3) Métrica en coordenadas esféricas g_{ij} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & R^2 & 0 \\ 0 & 0 & R^2 \sin^2 \theta \end{pmatrix} (11.4) Inversa de la métrica en coordenadas esféricas g^{ij} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{R^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{R^2 \sin^2 \theta} \end{pmatrix}

(11.5) Base dual en coordenadas esféricas e^R = e_R e^{\theta} = \frac{1}{R^2} e_{\theta} e^{\phi} = \frac{e_{\phi}}{R^2 \sin^2 \theta}

(11.6) Símbolos de Christoffel \frac{\partial e_i}{\partial x^j} \equiv \Gamma^k_{ij} e_k \frac{\partial e^i}{\partial x^j} \equiv -\Gamma^i_{jk} e^k Para coordenadas esféricas: \Gamma^R_{\theta \theta} = - R \Gamma^{\theta}_{\phi \phi} = - \sin \theta \cos \theta \Gamma^{\phi}_{\phi \theta} = \Gamma^{\phi}_{\theta \phi} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \Gamma^R_{\phi \phi} = - R \sin^2 \theta \Gamma^{\theta}_{\theta R} = \Gamma^{\theta}_{R \theta} =\Gamma^{\phi}_{\phi R} =\Gamma^{\phi}_{R \phi} = \frac{1}{R} \text{ resto } \Gamma^k_{ij} = 0

(11.7) Derivada covariante (Definición) \nabla_i A^k \equiv \frac{\partial A^k}{\partial x^i} + \Gamma^k_{ij} A^j \nabla_i A_k \equiv \frac{\partial A_k}{\partial x^i} - \Gamma^j_{ik} A_j

(12.1) Derivada de un vector
a lo largo de una trayectoria \frac{d \vec{A}}{d \lambda} = \left( u^i \nabla_i A^k \right) e_k

(12.2) S² (Esferalandia)
Coordenadas: \{ \theta, \phi \} Base \{ e_{\theta}, e_{\phi} \}

(12.3) Métrica de S² g = \begin{pmatrix} R^2 & 0 \\ 0 & R^2 \sin^2 \theta \end{pmatrix}

(12.4) Símbolos de Christoffel de S² \Gamma_{\phi \phi}^{\theta} = - \sin \theta \cos \theta \Gamma_{\phi \theta}^{\phi} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \text{ resto } \Gamma_{ij}^k = 0

(12.5) Campo transportado \vec{A} \text{ será un campo transportado paralelamente } \text{ en la trayectoria } \theta \left( \lambda \right) \phi \left( \lambda \right) \text{ si cumple: } u^i \nabla_i A^k = 0

(13.1) Transporte paralelo \frac{du^\alpha}{ds} + \Gamma_{\gamma \delta}^{\alpha} u^\gamma u^\delta = 0

(13.2) Conexión métrica \Gamma_{\gamma \delta}^{\alpha} = \tfrac{1}{2} g^{\alpha \beta} \left( \partial_\gamma g_{\beta \delta} + \partial_\delta g_{\beta \gamma} - \partial_\beta g_{\gamma \delta} \right)

(13.3) Teorema \text{ Conexión métrica } \Gamma \Leftrightarrow \nabla g = 0

(14.1) Derivada de un vector
respecto a una coordenada \frac{\partial e_\alpha}{\partial x^\beta} = \Gamma_{\beta \alpha}^\gamma e_\gamma \frac{\partial e^\alpha}{\partial x^\beta} = - \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha e^\gamma

(14.2) Derivada covariante de un Tensor tipo (2,0) \nabla_\gamma T^{\alpha \beta} \equiv \partial_\gamma T^{\alpha \beta} + \Gamma_{\sigma \gamma}^\alpha T^{\sigma \beta} + \Gamma_{\delta \gamma}^\beta T^{\alpha \delta} (14.3) Derivada covariante de un Tensor tipo (0,2) \nabla_\gamma T_{\alpha \beta} \equiv \partial_\gamma T_{\alpha \beta} - \Gamma_{\alpha \gamma}^\sigma T_{\sigma \beta} - \Gamma_{\beta \gamma}^\delta T_{\alpha \delta} (14.4) Derivada covariante de un Tensor tipo (1,1) \nabla_\gamma {T^\alpha}_\beta \equiv \partial_\gamma {T^\alpha}_\beta + \Gamma_{\sigma \gamma}^\alpha {T^\sigma}_\beta - \Gamma_{\gamma \beta}^\delta {T^\alpha}_\delta (14.4b) Derivada covariante de un Tensor tipo (1,2)
Ver vídeo del Capítulo 54 \nabla_\alpha T^\beta_{\gamma \delta} \equiv \partial_\alpha T^\beta_{\gamma \delta} + \Gamma_{\alpha \lambda}^\beta T^\lambda_{\gamma \delta} - \Gamma_{\alpha \gamma}^\lambda T^\beta_{\lambda \delta} - \Gamma_{\alpha \delta}^\lambda T^\beta_{\gamma \lambda}

(14.5) Tensor de Riemann \mathbb{R} = {R^\alpha}_{\beta \gamma \delta} \space e_\alpha \otimes e^\beta \otimes e^\gamma \otimes e^\delta (14.6) Derivada covariante del Tensor de Riemann \nabla_\sigma {R^\alpha}_{\beta \gamma \delta} = \partial_\sigma {R^\alpha}_{\beta \gamma \delta} + \Gamma_{\omega \sigma}^\alpha {R^\omega}_{\beta \gamma \delta} - \Gamma_{\beta \sigma}^\rho {R^\alpha}_{\rho \gamma \delta} - \Gamma_{\gamma \sigma}^\phi {R^\alpha}_{\beta \phi \delta} - \Gamma_{\delta \sigma}^\theta {R^\alpha}_{\beta \gamma \theta}

(15.1) Derivada de Lie
de un vector contravariante \mathscr{L}_A B^\alpha = A^\beta \partial_\beta B^\alpha - B^\beta \partial_\beta A^\alpha \mathscr{L}_A B^\alpha = A^\beta \nabla_\beta B^\alpha - B^\beta \nabla_\beta A^\alpha

(15.2) Derivada de Lie
de un vector covariante \mathscr{L}_A B_\alpha = A^\beta \partial_\beta B_\alpha + B_\beta \partial_\alpha A^\beta \mathscr{L}_A B_\alpha = A^\beta \nabla_\beta B_\alpha + B_\beta \nabla_\alpha A^\beta

(15.3) Corchete de Lie \vec{A} = A^\beta \frac{\partial}{\partial x^\beta} \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \vec{B} = B^\beta \frac{\partial}{\partial x^\beta} \mathscr{L}_{\vec{A}} \vec{B} = \left[ \vec{A}, \vec{B} \right] = \left( A^\beta \frac{\partial B^\alpha}{\partial x^\beta} - B^\beta \frac{\partial A^\alpha}{\partial x^\beta} \right) \frac{\partial}{\partial x^\alpha}

(15.4) Derivada de Lie de un Tensor tipo (2,0) \mathbb{T} = T^{\alpha \beta} e_\alpha \otimes e_\beta \mathscr{L}_u T^{\mu \nu} = u^\beta \partial_\beta T^{\mu \nu} - T^{\alpha \nu} \partial_\alpha u^\mu - T^{\mu \alpha} \partial_\alpha u^\nu \mathscr{L}_u T^{\mu \nu} = u^\beta \nabla_\beta T^{\mu \nu} - T^{\alpha \nu} \nabla_\alpha u^\mu - T^{\mu \alpha} \nabla_\alpha u^\nu

(15.5) Derivada de Lie de un Tensor tipo (0,2) \mathbb{T} = T_{\alpha \beta} e^\alpha \otimes e^\beta \mathscr{L}_u T_{\mu \nu} = u^\beta \partial_\beta T_{\mu \nu} + T_{\beta \nu} \partial_\mu u^\beta + T_{\mu \beta} \partial_\nu u^\beta \mathscr{L}_u T_{\mu \nu} = u^\beta \nabla_\beta T_{\mu \nu} + T_{\beta \nu} \nabla_\mu u^\beta + T_{\mu \beta} \nabla_\nu u^\beta

(15.6) Vectores de Killing \text{Dada la métrica:} g_{\mu \nu} \text{Si existe un vector } \vec{u} \text{ tal que:} \mathscr{L}_u g_{\mu \nu} = 0 \text{Entonces hay simetría en la "dirección" dada por } \vec{u} \vec{u} = \text{vectores de Killing}

(15.7) Ecuación de Killing \nabla_\mu u_\nu + \nabla_\nu u_\mu = 0

(16.1) Tensor de Riemann R^i_{jkl} = \frac{\partial \Gamma^i_{lj}}{\partial x^k} - \frac{\partial \Gamma^i_{kj}}{\partial x^l} + \Gamma^i_{kn} \Gamma^n_{lj} - \Gamma^i_{ln} \Gamma^n_{kj} (16.2) Tensor de Ricci R^k_{jkl} \equiv R_{jl} (16.3) Curvatura escalar R = g^{ij} R_{ij}

(16.4) Tensor de Riemann R_{ijkl} = g_{in} R^n_{jkl} Propiedades \text{\footnotesize a) } R_{ijkl} = - R_{jikl} \text{\footnotesize b) } R_{ijkl} = - R_{ijlk} \text{\footnotesize c) } R_{ijkl} = R_{klij} \text{\footnotesize d) } R_{ijkl} + R_{iljk} + R_{iklj} = 0 \text{\footnotesize e) Identidad de Bianchi:} \partial_m R^i_{jkl} + \partial_l R^i_{jmk} + \partial_k R^i_{jlm} = 0 \text{\footnotesize f) } R_{ij} = R_{ji} \text{\footnotesize g) } R^{ij} = R^{ji} \text{\footnotesize h) } \partial_j R^{ij} = \tfrac{1}{2} g^{ij} \partial_j R \text{\footnotesize i) |g| = determinante de la métrica} R_{ij} = \frac{1}{\sqrt{\left| g \right|}} \partial_k \left( \sqrt{\left| g \right|} \Gamma_{ij}^k \right) - \partial_i \partial_j \left( ln \sqrt{\left| g \right|} \right) - \Gamma_{li}^k \Gamma_{jk}^l

(16.5) Nº de componentes independientes
del Tensor de Riemann \sharp = \frac{n^2}{12} \left( n^2 - 1 \right) n \equiv \text{número de dimensiones} Ver vídeo del Capítulo 16 - Apéndice 1

Propuestas de ejercicios (PDF)

https://www.dropbox.com/s/qc5cjpwgpyrf5rr/ejercicios RG 1.pdf

(18.1) Transformación de
los ejes de coordenadas
entre dos sistemas inerciales \text{\footnotesize Eje } ct': x = vt \text{\footnotesize Eje } x': ct = \frac{v}{c} x

(18.2) Cambio de base entre dos sistemas inerciales e_0' = \frac{1} { \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } } (e_0 + \frac{v}{c} e_1) e_1' = \frac{1} { \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } } (e_1 + \frac{v}{c} e_0) notación: x^0 \equiv ct x^1 \equiv x

(19.1) Transformación de Lorentz
inversa (sistemas inerciales) x^0 = \gamma x^{0'} + \gamma \beta x^{1'} x^1 = \gamma \beta x^{0'} + \gamma x^{1'} Con notación ct, x: ct = \gamma (ct' + \beta x') x = \gamma (vt' + x')

(19.2) Transformación de Lorentz
(sistemas inerciales) x^{0'} = \gamma x^0 - \gamma \beta x^1 x^{1'} = - \gamma \beta x^0 + \gamma x^1

(19.3) Elemento de línea o intervalo espaciotemporal
(invariante para sistemas inerciales) ds^2 \equiv -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 = -(dx^{0'})^2 + (dx^{1'})^2 Ver fórmula (1.3) para caso general

(19.4) Tiempo propio
(sistemas inerciales) \tau \equiv dt' \equiv \text{\footnotesize tiempo propio} d\tau = \sqrt{1 - \frac{\dot{x}^2}{c^2}} dt d\tau = \text{\footnotesize invariante}

(19.5) "Velocidad" espaciotemporal \underline{u} = \frac{d(ct)}{d\tau} e_o + \frac{dx}{d\tau} e_1 \underline{u} \cdot \underline{u} = -c^2 \left|\left| \underline{u} \right|\right| = \text{\footnotesize constante} \underline{a} \cdot \underline{u} = 0

(20.1) Línea del mundo de una partícula
con aceleración constante a (\underline{a} \cdot \underline{a} = a^2)
(solo válido en espaciotiempo plano) x_{ \left( t \right) } = x_0 - \frac{c^2}{a} + \frac{c^2}{a} \sqrt{1 + \left( \frac{at}{c} \right)^2} Límite en el infinito: x_{ \left( t \to \infty \right) } \approx x_0 - \frac{c^2}{a} + ct \leq ct + k Para velocidades pequeñas comparadas con c (at \lt \lt c)
partiendo del reposo (v_0 = 0): x_{ \left( t \right) } \approx x_0 + \frac{1}{2} at^2

No hay fórmulas

(22.1) Elemento de línea ds^2 = g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\beta

(22.2) Tiempo propio d\tau = \sqrt{ \frac{-1}{c^2} g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\beta }

(22.3) 4-velocidad \underline{u} = \frac{dx^\alpha}{d\tau} e_\alpha

(22.4) 4-aceleración \underline{a} = \frac{d \underline{u} }{d\tau}

(22.5) Aceleración propia a = \sqrt{ \underline{a} \cdot \underline{a} }

(22.6) Base de sistema de referencia comóvil \left\{ \frac{1}{c} \underline{u}, \frac{1}{ \sqrt{ \underline{b_1} \cdot \underline{b_1} } } \underline{b_1}, \frac{1}{ \sqrt{ \underline{b_2} \cdot \underline{b_2} } } \underline{b_2}, \frac{1}{ \sqrt{ \underline{b_3} \cdot \underline{b_3} } } \underline{b_1} \right\} tal que \underline{b_1} \cdot \underline{u} = \underline{b_2} \cdot \underline{u} = \underline{b_3} \cdot \underline{u} = 0 \underline{b_i} \cdot \underline{b_i} > 0

(22.7) Métrica de Rindler (I) Base coordenada de Rindler e_{cT} = r \left( \cosh{cT} e_0 + \sinh{cT} e_1 \right) e_r = \sinh{cT} e_0 + \cosh{cT} e_1 siendo ct = r \sinh{cT} x = r \cosh{cT} Versión dimensionalmente
correcta del vídeo del Capítulo 23 ds^2 = -\left( \frac{r}{b} \right)^2 c^2 dT^2 + dr^2

No hay fórmulas

(24.1) Vectores de Killing de Rindler \underline{\xi}^{(1)} = \frac{1}{r} \cosh{cT} e_{cT} - \sinh{cT} e_r \underline{\xi}^{(2)} = - \frac{1}{r} \sinh{cT} e_{cT} + \cosh{cT} e_r \underline{\xi}^{(3)} = e_{cT}

(25.1) Fórmulas para la congruencia del campo A x^\alpha (\varepsilon) \approx x^\alpha + \varepsilon A^\alpha_{(x^\beta)} siendo \varepsilon^2 \approx 0

(25.2) Vectores de Killing de Minkowski \vec{ \xi } = e_1 \text{ Traslación x } \vec{ \xi } = e_2 \text{ Traslación y } \vec{ \xi } = e_3 \text{ Traslación z } \vec{ \xi } = x e_2 - y e_1 \text{ Rotación en torno al eje z } \vec{ \xi } = y e_3 - z e_2 \text{ Rotación en torno al eje x } \vec{ \xi } = z e_1 - x e_3 \text{ Rotación en torno al eje y } \underline{ \xi } = e_0 \text{ Traslación tiempo } \underline{ \xi } = x e_0 + ct e_1 \text{ Boost x } \underline{ \xi } = y e_0 + ct e_2 \text{ Boost y } \underline{ \xi } = z e_0 + ct e_3 \text{ Boost z }

(26.1) Geodésicas \underline{a} = 0 \frac{d}{ d \tau } \left( \underline{u} \right) = \underline{a}

(26.2) Tensor simétrico
(definición) T_{\alpha \beta} = T_{\beta \alpha} T^{\alpha \beta} = T^{\beta \alpha} Tensor anti-simétrico
(definición) T_{\alpha \beta} = - T_{\beta \alpha} T^{\alpha \beta} = - T^{\beta \alpha}

(26.3) Teorema S^{\alpha \beta} T_{\alpha \beta} = S^{\alpha \beta} \frac{1}{2} \left( T_{\alpha \beta} + T_{\beta \alpha} \right) \text{siendo } S_{\alpha \beta} \text{ un tensor simétrico} Teorema A^{\alpha \beta} T_{\alpha \beta} = A^{\alpha \beta} \frac{1}{2} \left( T_{\alpha \beta} - T_{\beta \alpha} \right) \text{siendo } A_{\alpha \beta} \text{ un tensor anti-simétrico}

(26.4) Vector cuadri-momento
(definición) \underline{p} = m \underline{u}

(26.5) \underline{p} \cdot \underline{\xi}^{\text{tiempo}} = - \frac{E}{c}

(26.6) Definición de espacio-tiempo estático \text{Si existe un Killing } \underline{\xi} \text{ temporal}

(27.1) Momento angular
conservado para los Killings de Minkowski L^1 = x^2 p^3 - x^3 p^2 L^2 = x^3 p^1 - x^1 p^3 L^3 = x^1 p^2 - x^2 p^1 nomenclatura x^0 = ct x^1 = x x^2 = y x^3 = z

(27.2) Momento angular relativista
(tensor anti-simétrico) M^{\alpha \beta} = x^\alpha p^\beta - x^\beta p^\alpha conservado para los Killings de Minkowski

(27.4) Métrica de un espacio-tiempo plano (Minkowski) en coordenadas esféricas ds^2 = -c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2 \right) usando la fórmula 11.3 dx^2 + dy^2 + dz^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d \phi^2 Vectores de Killing \vec{ \xi } = e_\phi \text{ Rotación en torno al eje z } \vec{ \xi } = - \sin \phi e_\theta - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cos \phi e_\phi \text{ Rotación en torno al eje x } \vec{ \xi } = \cos \phi e_\theta - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \sin \phi e_\phi \text{ Rotación en torno al eje y }

(28.1) La luz se mueve cumpliendo: ds^2 = 0

(28.2) Cuadri-momento de la luz
para métricas ortogonales \underline{k} = k^0 e_0 + \sqrt{-g_{00}} \left| k^0 \right| \hat{k}

(28.3) Energía de la luz
para espacio-tiempo de Minkowski
(o espacio-tiempos con métrica ortogonal
y killing temporal = e₀) E = -c k^0 g_{00}

(28.4) Cuadri-momento de la luz
en función de la energía
para espacio-tiempo de Minkowski
(o espacio-tiempos con métrica ortogonal
y killing temporal = e₀) \underline{k} = \frac{E}{c} \left( - \frac{1}{g_{00}} e_0 + \frac{\hat{k}}{\sqrt{-g_{00}}} \right) \underline{k} = \frac{h}{\lambda} \left( - \frac{1}{g_{00}} e_0 + \frac{\hat{k}}{\sqrt{-g_{00}}} \right)

(28.5) Momento angular
conservado para los Killings de Minkowski L_x \equiv -k^\theta r^2 \sin \phi - k^\phi r^2 \cos \theta \sin \theta \cos \phi L_y \equiv k^\theta r^2 \cos \phi - k^\phi r^2 \cos \theta \sin \theta \sin \phi L_z \equiv k^\theta r^2 \sin^2 \theta

(28.6) En un espacio con simetría esférica \text{\footnotesize Establecemos } \theta = \frac{\pi}{2} Elemento de línea ds^2 = -c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 d\phi^2 Momento angular (conservado) L_x = 0 L_y = 0 L_z = k^\phi r^2

(29.1) Energía de partículas masivas
en la métrica de Rindler
(constante en las geodésicas) E = m c u^0 x^2 E = m c^2 x^2 \frac{dt}{d\tau} E = m c^2 x^2 \frac{1}{ \sqrt{x^2 - \left( \frac{ \dot{x} }{c} \right) ^2 } } Como magnitud adimensional \hat{E} \equiv \frac{E}{mc^2} \hat{E} = \frac{x^2}{ \sqrt{ x^2 - \left( \frac{ \dot{x} }{c} \right) ^2 } }

(30.1) Geodésicas nulas
(o de la luz) ct = \pm \ln \frac{x}{x_0} ver en Wolfram Alpha

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E2+%3D+ln(x%2F2)%5E2,++0+<+y+<+3,+0+<+x+<+5

(30.2) Ecuación de Poisson \nabla^2 \Phi = 0 \nabla^2 g_{00} = 0

(31.1) Principio de Equivalencia Débil \text{ Para partículas con masa es imposible discernir si una } \text{ partícula está sometida a los efectos de gravedad } \text{ uniforme o a una aceleración uniforme } \vec{a} = \vec{g} \text{ masa gravitatoria } = \text{ masa inercial }

(31.2) Principio de Equivalencia de Einstein \text{ Para TODA partícula y TODA fuerza es imposible discernir } \text{ si una partícula está sometida a los efectos de gravedad } \text{ uniforme o a una aceleración uniforme } Redefinición de Sistema de Referencia Inercial \text{ Sistema de Referencia en caída libre (Minkowski) }

(31.3) Teorema (Relatividad General) \text{ En la vecindad de cualquier punto p del espacio tiempo } \text{ siempre podemos escoger coordenadas de manera que: } g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} \text{ en el punto p } \eta_{\mu \nu} \equiv \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Cálculo de los símbolos de Christoffel del espaciotiempo de Schwarzschild (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - Christofel Agujero negro.pdf

(32.1) Métrica de Schwarzschild ds^2 = -\left( 1 - \frac{2GM}{c^2r} \right) c^2 dt^2 + \frac{1}{1 - \frac{2GM}{c^2r} } dr^2 + r^2 d \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d \phi^2

(32.2) Conexión Métrica a \equiv \frac{2GM}{c^2} e_0 \cdot e_0 = - \left( 1 - \frac{a}{r} \right) e_1 \cdot e_1 = \frac{1}{1 - \frac{a}{r} } e_2 \cdot e_2 = r^2 e_3 \cdot e_3 = r^2 \sin^2 \theta Símbolos de Christoffel \Gamma^0_{01} = \Gamma^0_{10} = \frac{a}{ 2r (r - a) } \Gamma^1_{00} = \frac{a}{ 2r^2 } \left( 1 - \frac{a}{r} \right) \Gamma^2_{12} = \Gamma^2_{21} = \frac{1}{r} \Gamma^3_{13} = \Gamma^3_{31} = \frac{1}{r} \Gamma^1_{11} = \frac{a}{ 2r (a - r) } \Gamma^1_{22} = a - r \Gamma^1_{33} = \left( a - r \right) \sin^2 \theta \Gamma^2_{33} = - \cos \theta \sin \theta \Gamma^3_{23} = \Gamma^3_{32} = \cot \theta \Gamma^0_{01} = \Gamma^0_{10} = \frac{GM}{ r (c^2 r - 2GM) } \Gamma^1_{00} = \frac{GM}{ c^2 r^2 } \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right) \Gamma^2_{12} = \Gamma^2_{21} = \frac{1}{r} \Gamma^3_{13} = \Gamma^3_{31} = \frac{1}{r} \Gamma^1_{11} = \frac{GM}{ r \left( 2GM - c^2 r \right) } \Gamma^1_{22} = \frac{2GM}{c^2} - r \Gamma^1_{33} = \left( \frac{2GM}{c^2} - r \right) \sin^2 \theta \Gamma^2_{33} = - \cos \theta \sin \theta \Gamma^3_{23} = \Gamma^3_{32} = \cot \theta

Cálculo del Tensor de Riemann en el espaciotiempo de Schwarzschild (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - Riemann Schwarzschild.pdf

(33.1) Componentes no nulas del Tensor de Riemann para la métrica de Schwarzschild a \equiv \frac{2GM}{c^2} R^0_{101} = \frac{a}{r \left( r^2 - ar \right) } R^0_{202} = - \frac{a}{2r} R^0_{303}= - \frac{a \sin^2 \theta }{2r} R^1_{221} = \frac{a}{2r} R^1_{331} = \frac{ a \sin^2 \theta }{2r} R^1_{001} = \frac{ a \left( r - a \right) }{r^4} R^2_{121} = \frac{a}{ 2 r^2 \left( a - r \right) } R^2_{332} = - \frac{ a \sin^2 \theta }{r} R^2_{002} = \frac{ a \left( a - r \right) }{ 2 r^4 } R^3_{131} = \frac{a}{ 2 r^2 \left( a - r \right) } R^3_{232} = \frac{a}{r} R^3_{003} = \frac{ a \left( a - r \right) }{ 2 r^4 } R^0_{101} = \frac{2GM}{r^2 \left( -2GM + c^2 r \right) } R^0_{202} = - \frac{GM}{c^2 r} R^0_{303}= - \frac{GM \sin^2 \theta }{c^2 r} R^1_{221} = \frac{GM}{c^2 r} R^1_{331} = \frac{ GM \sin^2 \theta }{c^2 r} R^1_{001} = \frac{ 2GM \left( -2GM + c^2 r \right) }{c^4 r^4} R^2_{121} = \frac{GM}{ r^2 \left( 2GM - c^2 r \right) } R^2_{332} = - \frac{ 2GM \sin^2 \theta }{ c^2 r } R^2_{002} = \frac{ GM \left( 2GM - c^2 r \right) }{ c^4 r^4 } R^3_{131} = \frac{GM}{ r^2 \left( 2GM - c^2 r \right) } R^3_{232} = \frac{2GM}{c^2 r} R^3_{003} = \frac{ GM \left( 2GM - c^2 r \right) }{ c^4 r^4 }

(34.1) Si en la métrica de Schwarzschild fijamos: \theta = \frac{\pi}{2} Obtenemos: a \equiv \frac{2GM}{c^2} ds^2 = -\left( 1 - \frac{a}{r} \right) c^2 dt^2 + \frac{1}{1 - \frac{a}{r} } dr^2 + r^2 d \phi^2 En cualquier instante t = constante: dl^2 = \frac{1}{ 1 - \frac{a}{r} } dr^2 + r^2 d \phi^2

(34.2) Paraboloide de Flamm x^2 + y^2 = \left( a + \frac{z^2}{4a} \right)^2 ver en Wolfram Alpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+0.05+%2B+(z%5E2%2F0.2)%5E2

(35.1) Relación entre incremento
de tiempo coordenado y propio \Delta \tau = \sqrt{ 1 - \frac{a}{r} } \Delta t En el infinito (r ~ ∞): \Delta \tau = \Delta t

(35.2) Relación de intervalos de tiempos
entre un observador a distancia r y
un observador en el infinito T_{\infty} = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{a}{r} } } T_{r} Para longitudes de onda: \lambda_{\infty} = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{a}{r} } } \lambda_{r}

(36.1) Energía (conservada) E = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{GMm}{r} E = \frac{1}{2} m \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) - \frac{GMm}{r}

(36.2) Momento angular
(componente constante
en el eje z) L = m r^2 \dot{\phi}

(36.3) Reduciendo el problema a 1 dimensión (r) E = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \frac{ L^2 }{ 2 m r^2 } - \frac{ G M m }{ r }

(36.4) Energía Potencial V \left( r \right) = \frac{ L^2 }{ 2 m r^2 } - \frac{ G M m }{ r } ver en Wolfram Alpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+(1%2F(2*(x%5E2)))+-+(1%2Fx),+0+%3C+x+%3C+5

(37.1) Posición radial en función del ángulo r \left( \phi \right) = \frac{L^2} { G M m^2 \left( 1 + \varepsilon \cos \phi \right) }

(38.1) Para expresar la fórmula (34.1)
en unidades adimensionales, definimos: \hat{r} \equiv \frac{r}{a} \left[ \hat{r} \right] = 1 a \equiv \frac{2GM}{c^2} \hat{t} \equiv \frac{ct}{a} \left[ \hat{t} \right] = 1 c = 1 \hat{\tau} \equiv \frac{c\tau}{a} \left[ \hat{\tau} \right] = 1 2GM = 1 De esta forma la fórmula no depende de c, G, M, m: d \hat{\tau}^2 = \left( 1 - \frac{1}{\hat{r}} \right) d \hat{t}^2 - \frac{1}{ 1 - \frac{1}{\hat{r}} } d \hat{r}^2 - \hat{r}^2 d\phi^2 Que, a partir de ahora, simplificaremos sin los gorritos,
teniendo en cuenta que tendremos que aplicar las
definiciones de arriba para obtener los valores en el S.I. d \tau^2 = \left( 1 - \frac{1}{r} \right) d t^2 - \frac{1}{ 1 - \frac{1}{r} } d r^2 - r^2 d\phi^2

(38.2) Vectores de Killing
Tomando las coordenadas: \left( x^0, x^1, x^3 \right) = \left( ct, r, \phi \right) Usando la fórmula (27.4) y,
teniendo en cuenta la restricción
θ = π / 2,
el vector de killing que queda es: \underline{\xi} = e_{3} Además, el killing temporal es: \underline{\xi} = e_{0}

(38.3) Usando la fórmula (26.5)
con los killings: \frac{dt}{d \tau} = \frac{E}{ mc^2 \left( 1 - \frac{a}{r} \right) } \frac{d \phi}{d \tau} = \frac{L}{mr^2} En S.I. ya que aparecen m, c y a

(38.4) Las versiones adimensionales
de la energía y el momento angular: \hat{E} = \frac{E}{mc^2} \hat{L} = \frac{L}{mac}

(38.5) Expresando las fórmulas (38.3)
en unidades adimensionales: \frac{dt}{d \tau} = \frac{E}{ \left( 1 - \frac{1}{r} \right) } \frac{d \phi}{d \tau} = \frac{L}{r^2}

(38.6) Definiendo ε (constante): \varepsilon \equiv E^2 - 1 Obtenemos: \varepsilon = \left( \frac{dr}{d\tau} \right) ^2 + \frac{L^2}{r^2} - \frac{1}{r} - \frac{L^2}{r^3}

(38.7) \frac{ d^2 \hat{u} }{ d \phi^2 } + \hat{u} = \frac{1}{ 2 \hat{L} ^2 } + \frac{ 3 \hat{u}^2 }{2} En unidades del S.I.: \frac{ d^2 u }{ d \phi^2 } + u = \frac{GMm^2}{L^2} + \frac{3GM}{c^2} u^2

(39.1) Energía potencial (eficaz) V(r) = L^2 r^{-2} - r^{-1} - L^2 r^{-3} En el caso L² ≥ 3, aparecen
los valores máximo (r_c1) y mínimo (r_c2): r_{c1} = L^2 + L \sqrt{ L^2 - 3 } r_{c2} = L^2 - L \sqrt{ L^2 - 3 } Si L² = 3, tenemos un punto de inflexión: r = L^2

(39.2) Gráficas de las energías en función del radio: Para L² = 0 (órbitas radiales): Para L² = 3 (órbitas espirales): Para 3 < L² < 4: \text{(Posible) Órbitas elípticas (con precesión)} \text{(Posible) Órbita circular} Para L² = 4 (L = 2): \text{(Posible) Órbita elíptica (con precesión)} \text{(Posible) Órbita circular} Para L² > 4 (L > 2): \text{(Posible) Órbita elíptica (con precesión)} \text{(Posible) Órbita circular estable} \text{(Posible) Órbita circular inestable}

Ver fórmulas del capítulo 28

(40.1) Cuadri-momento de la luz: \underline{k} = \frac{ dx^{\alpha} }{ d \lambda } e_{\alpha}

(40.2) Parámetro λ adimensional: \hat{ \lambda } = \frac{ \lambda Mc }{a} Unidades: \left[ \lambda \right] = \frac{ \text{Masa} }{ \text{Tiempo} } = \frac{ \text{seg} }{ \text{Kg} } \text{ (en S.I.)} \left[ \hat{\lambda} \right] = 1

(40.3) Killing temporal: \underline{k} \cdot e_0 = - \frac{E}{c} Con unidades adimensionales: \frac{ d \hat{t} }{ d \hat{\lambda}} = \frac{ \hat{E} }{ \left( 1 - \frac{1}{ \hat{r} } \right) } Con: \hat{E} \equiv \frac{E}{Mc^2}

(40.4) Killing angular: \underline{k} \cdot e_3 = L Con unidades adimensionales: \frac{ d \phi }{ d \hat{\lambda}} = \frac{ \hat{L} }{ \hat{r}^2 } Con: \hat{L} \equiv \frac{L}{Mca}

(40.5) Definiendo ε (constante): \varepsilon \equiv E^2 Obtenemos: \varepsilon = \left( \frac{dr}{ d \lambda } \right) ^2 + \frac{L^2}{r^2} \left( 1 - \frac{1}{r} \right)

(40.6) Energía potencial: V(r) = L^2 \left( \frac{1}{r^2} - \frac{1}{r^3} \right) En el caso L ≠ 0 aparece un valor máximo en: r = \frac{3}{2} Gráficas de las energías en función del radio: \text{Fotoesfera}

(41.1) Ejercicio propuesto

(42.1) Solución al ejercicio del Capítulo 41 Click para mostrar la solución \text{a) } v = \left( 1 - \frac{1}{r} \right) \sqrt{ 1 - \frac{1}{E^2} \left( 1 - \frac{1}{r} \right) } \text{b) } v = \sqrt{ 1 - \frac{1}{E^2} \left( 1 - \frac{1}{r} \right) } \overline{e}_0 = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{r} } } e_0 \overline{e}_1 = \sqrt{ 1 - \frac{1}{r} } e_1 \text{c) } \widetilde{e}_0 = \frac{E}{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{r} } } \overline{e}_0 + \left( \sqrt{ \frac{E^2}{ 1 - \frac{1}{r} } - 1 } \right) \overline{e}_1 \widetilde{e}_1 = \left( \sqrt{ \frac{E^2}{ 1 - \frac{1}{r} } - 1 } \right) \overline{e}_0 + \frac{E}{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{r} } } \overline{e}_1

(43.1) Un observador está definido a partir de
una base ortonormal de 4 cuadri-vectores: \{ \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} \alpha_0 \cdot \alpha_0 = -1 \alpha_1 \cdot \alpha_1 = \alpha_2 \cdot \alpha_2 = \alpha_3 \cdot \alpha_3 = 1 \alpha_i \cdot \alpha_j = 0, i \neq j

(43.2) La base coordenada
corresponde a un observador lejano: \{ e_0, e_1, e_2, e_3 \}

(43.3) Un observador estático debe cumplir: r \text{ fija, } \phi \text{ fija, } \theta \text{ fija} \text{para todo instante } t Lo cual no sigue ninguna geodésica,
por lo que es necesario que
experimente una aceleración

(43.4) Espaciotiempo estático o lo que es equivalente:

(43.5) Cuadrivelocidad de
un observador estático \underline{u} = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{r} } } e_0

(43.6) Aceleración experimentada
por un observador estático
expresado en la base coordenada
(unidades adimensionales): \underline{a} = \frac{1}{2r^2} e_1 Expresado en la base del observador
(unidades adimensionales): \underline{a} = \frac{1}{2r^2} \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{r} } } \overline{e}_1 Expresado en la base del observador
(unidades del S.I.): a = \frac{GM}{r^2} \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{2GM}{c^2 r} } }

(44.1) Surface Gravity

(44.2) Surface gravity de un
agujero negro de Schwarzschild K = \frac{c^4}{4GM} En coordenadas adimensionales: K = \frac{1}{2} Definiendo: f(r) = 1 - \frac{1}{r} Tenemos: K = \frac{1}{2} f'(1)

(44.3) Métrica (aproximada) en las cercanías
del horizonte de eventos: ds^2 \simeq - \rho^2 d \eta^2 + d \rho^2 + d\Omega^2 siendo: \eta \equiv Kt con: \rho \simeq \frac{2}{ \sqrt{ 2K } } \sqrt{ r - 1 }

(44.4) Símbolos de Christoffel de Rindler \Gamma^\eta_{ \rho \eta } = \frac{1}{\rho} \Gamma^\rho_{ \eta \eta } = \rho Ver fórmula (22.7)

(44.5) Aceleración que ha de tener
un observador estático
en coordenadas de Rindler \underline{a} = \frac{1}{\rho} e_\rho

(45.1) Aproximacion de la métrica dentro del agujero negro,
en las cercanías del horizonte de sucesos ds^2 \simeq - \frac{1}{ 1 - r } dr^2 + \left( 1 - r \right) dt^2 + d \Omega^2

(45.2) Aplicando a la fórmula (45.1)
el siguiente cambio de coordenadas: u \equiv 2 \sqrt{ 1 - r} v \equiv \frac{t}{2} Obtenemos: ds^2 \simeq - du^2 + u^2 dv^2

(45.3) Aplicando a la fórmula (45.2)
el siguiente cambio de coordenadas: T = u \cosh{v} X = u \sinh{v} Obtenemos: ds^2 \simeq - dT^2 + dX^2

(45.4) Cambio de coordenadas en la zona II T = \sqrt{ 1 - r } e^\frac{r}{2} \cosh{ \frac{t}{2} } X = \sqrt{ 1 - r } e^\frac{r}{2} \sinh{ \frac{t}{2} }

(45.5) Métrica de Kruskal-Szekeres ds^2 = \frac{4}{r} e^{-r} \left( - dT^2 + dX^2 \right) T^2 - X^2 = \left( 1 - r \right) e^r

(45.6) Singularidad en las
coordenadas de Kruskal-Szekeres T^2 - X^2 = 1 \left( r = 0 \right) ver en Wolfram Alpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+sqrt(1+%2B+x%5E2)

Código MATLAB: Zonas Agujero Negro

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Zonas Agujero Negro.m

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 46 Resumen-Zonas y Agujeros gusano.pdf

Einstein, A., & Rosen, N. (1935). The Particle Problem in the General Theory of Relativity (Sci-Hub)

https://sci-hub.tw/10.1103/PhysRev.48.73

(46.1) Cambio de coordenadas en la zona I T = \sqrt{ r - 1 } e^\frac{r}{2} \sinh{ \frac{t}{2} } X = \sqrt{ r - 1 } e^\frac{r}{2} \cosh{ \frac{t}{2} }

(46.2) Cambio de coordenadas en la zona II T = \sqrt{ 1 - r } e^\frac{r}{2} \cosh{ \frac{t}{2} } X = \sqrt{ 1 - r } e^\frac{r}{2} \sinh{ \frac{t}{2} }

(46.3) Cambio de coordenadas en la zona III T = - \sqrt{ r - 1 } e^\frac{r}{2} \sinh{ \frac{t}{2} } X = - \sqrt{ r - 1 } e^\frac{r}{2} \cosh{ \frac{t}{2} }

(46.4) Cambio de coordenadas en la zona IV T = - \sqrt{ 1 - r } e^\frac{r}{2} \cosh{ \frac{t}{2} } X = - \sqrt{ 1 - r } e^\frac{r}{2} \sinh{ \frac{t}{2} }

(46.5) Métrica de Einstein-Rosen ds^2 = - \frac{ u^2 }{ 4 + u^2 } dt^2 + \frac{ 4 + u^2 }{4} du^2 + \left( 1 + \frac{u^2}{4} \right)^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2 \right) Cambio de coordenadas: r = 1 + \frac{u^2}{4}

(46.7) Aplicando a al fórmula (46.6)
el siguiente cambio de coordenadas: T = \frac{u}{2} e^{ \frac{1}{2} + \frac{u^2}{8} } \sinh{ \frac{t}{2} } X = \frac{u}{2} e^{ \frac{1}{2} + \frac{u^2}{8} } \cosh{ \frac{t}{2} } Obtenemos: ds^2 = \frac{4}{ 1 + \frac{u^2}{4} } e^{ - \left( 1 + \frac{u^2}{4} \right) } \left( -dT^2 + dX^2 \right) + r^2 d\Omega^2 X^2 - T^2 = \frac{u^2}{4} e^{ 1 + \frac{u^2}{4} }

(46.8) Fijando θ y φ: ds^2 = - f dt^2 + g du^2 Con: f = \frac{u^2}{4 + u^2} g = \frac{4 + u^2}{4}

(46.9) Geodésicas radiales \frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{f} \frac{du}{d\tau} = \frac{-4}{ u \sqrt{ 4 + u^2 } }

(46.10) Velocidad radial observada
por un observador lejano: v = - \frac{4u}{ \left( 4 + u^2 \right)^{ \frac{3}{2} } }

(46.11) Velocidad radial observada
por un observador estático: v = \frac{2}{ \sqrt{ 4 + u^2 } }

Código MATLAB: Diagrama de Penrose

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Diagrama de Penrose.m

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 47 Resumen-Diagrama Penrose Minkowski.pdf

(47.1) Cuadri-momento de la luz fijando θ = ^π/₂: \underline{k} = A e_0 + \sqrt{ A^2 - \frac{1}{r^2} B^2 } e_1 + \frac{B}{r^2} e_3 Con: \frac{dt}{d\lambda} = A \frac{dr}{d\lambda} = \sqrt{ A^2 - \frac{1}{r^2} B^2 } \frac{dt}{d\lambda} = \frac{B}{r^2}

(47.2) Geodésica de la luz: t - t_0 = \sqrt{ r^2 - \left( \frac{B}{A} \right)^2 }

(47.3) Métrica en las coordenadas del diagrama de Penrose: ds^2 = \frac{ -dT^2 + dX^2 } { \left( 1 - \left( T + X \right)^2 \right) \left( 1 - \left( T - X \right)^2 \right) } Siendo: u = T + X v = T - X Siendo: u = \tanh{q} v = \tanh{p} Siendo: p = t - r q = t + r

Código MATLAB: Diagrama de Penrose de un Agujero Negro

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Diagrama de Penrose Agujero Negro.m

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 48 Resumen-Diagrama Penrose Kruskal.pdf

No hay fórmulas

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 49 Resumen-Ecuación Continuidad.pdf

(49.1) Ecuación de continuidad \frac{ \partial{\rho} }{ \partial{t} } + \vec{\nabla} \cdot \vec{J} = 0

(49.2) Cuadri-vector J
en las coordenadas de
un observador en reposo: \underline{J} = \rho_0 c e_0'

(49.3) Cuadri-vector J
en las coordenadas de
un observador inercial: \underline{J} = \rho c e_0 + \rho v e_1 Siendo: \rho = \frac{ \rho_0 }{ \sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} } }

(49.4) Cuadri-vector J \underline{J} = \rho c e_0 + \rho v^1 e_1 + \rho v^2 e_2 + \rho v^3 e_3 El cual cumple con la conservación local: \partial_\mu J^\mu = 0

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 50 Resumen-Tensor Energía-Momento.pdf

(50.1) Divergencia de un cuadri-vector div \underline{A} = Tr \left( \nabla_\alpha A^\beta \right) = \nabla_\alpha A^\alpha

(50.2) Métrica de Minkowski en coordenadas polares (2D) ds^2 = -c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 Símbolos de Christoffel \Gamma^r_{\theta\theta} = -r \Gamma^\theta_{\theta r} = \frac{1}{r}

(50.3) Divergencia de un cuadri-vector en coordenadas polares div \underline{A} = \partial_r A^r + \partial_\theta A^\theta + \frac{1}{r} A^r La versión de los libros \underline{A} = a^r \hat{e}_r + a^\theta \hat{e}_\theta div \underline{A} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r a^r \right) + \frac{1}{r} \frac{\partial a^\theta}{\partial \theta}

(50.4) Ecuación de continuidad
para coordenadas de Minkowski \nabla_\alpha J^\alpha = 0

(50.5) Ecuación de continuidad
de un cuadri-vector en coordenadas polares \underline{J} = \rho c e_0 + \rho v^r e_r + \rho v^\theta e_\theta \nabla_\alpha J^\alpha = \partial_0 \left( \rho c \right) + \partial_r \left( \rho v^r \right) + \partial_\theta \left( \rho v^\theta \right) + \frac{1}{r} \rho v^r = 0

(50.6) Ecuación de continuidad
de un cuadri-vector en coordenadas cilíndricas \underline{J} = \rho c e_0 + \rho v^r e_r + \rho v^\theta e_\theta + \rho v^z e_z \nabla_\alpha J^\alpha = \partial_0 \left( \rho c \right) + \partial_r \left( \rho v^r \right) + \partial_\theta \left( \rho v^\theta \right) + \frac{1}{r} \rho v^r + \partial_z \left( \rho v^z \right) = 0

(50.7) Vector cuadri-momento
en un espacio-tiempo de Minkowski \underline{p} = m \gamma c e_0 + m \gamma v e_1 Ver fórmula (26.4) \gamma = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} } } u^0 = c \gamma u^1 = v \gamma

(50.8) Energía
de un cuerpo en
caída libre en un
espacio-tiempo
de Minkowski E = m \gamma c^2

(50.9) Cantidad
de movimiento
de un cuerpo en
caída libre en un
espacio-tiempo
de Minkowski p = m \gamma v

(50.10) Densidad de masa
de un grupo de partículas
en reposo medido en su
sistema de referencia
(rest frame) \rho_0 = \frac{Nm}{L_0}

(50.11) Densidad de energía
de un grupo de partículas
en reposo medido en su
sistema de referencia
(rest frame) \varepsilon_0 = \rho_0 c^2

(50.12) Densidad de masa
de un grupo de partículas
en reposo medido en un
sistema de referencia
inercial (lab frame) \rho = \rho_0 \gamma

(50.13) Densidad de energía
de un grupo de partículas
en reposo medido en un
sistema de referencia
inercial (lab frame) \varepsilon = \varepsilon_0 \gamma^2

(50.14) Cuadri-momento p
expresado en términos de
la energía y el momento \underline{p} = \frac{E}{c} e_0 + p e_1

(50.15) Conservación local
de la energía (ε) en Minkowski \partial_\mu T^{\mu 0} = 0

(50.16) Densidad de
candidad de movimiento \pi = \frac{Np}{L}

(50.17) Tensor de enegía momento
de partículas en reposo
y sin interacción entre ellas \mathbb{T} = \rho_0 \underline{u} \otimes \underline{u}

No hay fórmulas

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 52 Resumen-Acción Hilbert-Einstein 1.pdf

(52.1) Acción de Hilbert-Einstein S[g] = \int d^4 x \sqrt{-g} R

(52.2) Ecuaciones de campo en el vacío R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}R = 0

(52.3) Variación de la raíz de x·y: \delta \left( \sqrt{xy} \right) = \frac{ \sqrt{ x_0 y_o } }{2} \left[ \frac{1}{x_0} \delta x + \frac{1}{y_0} \delta y \right]

(52.4) Variación de la raíz de x₁·x₂···x_n: \delta \left( \sqrt{ x_1 x_2 \cdots x_n} \right) = \frac{ \sqrt{ x_1 x_2 \cdots x_n } }{2} \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \delta x_i

(52.5) Variación de la raíz del
determinante de una matriz diagonal
en función de sus valores propios: \delta \left( \sqrt{ \det A } \right) = \frac{ \sqrt{ \det A } }{2} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda_i} \delta \lambda_i A = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \cdots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}

(52.6) Variación de la raíz del
determinante de una métrica espacial
(sin tiempo), ver fórmula (2.1): \delta \left( \sqrt{g} \right) = \frac{ \sqrt{g} }{2} g^{\alpha \beta} \delta g_{\alpha \beta} \det g \equiv g

(52.7) Variación de la raíz del
determinante de una métrica
espacio-temporal: \delta \left( \sqrt{-g} \right) = \frac{ \sqrt{-g} }{2} g^{\alpha \beta} \delta g_{\alpha \beta} \det g \equiv g

(52.8) Variación de la raíz del
determinante de una métrica
espacio-temporal: \delta \left( \sqrt{-g} \right) = - \frac{ \sqrt{-g} }{2} g_{\alpha \beta} \delta g^{\alpha \beta} \det g \equiv g

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 53 Resumen-Acción Hilbert-Einstein 2.pdf

(53.1) Contracción de los símbolos de Christoffel \Gamma_{\mu \nu}^{\mu} = \frac{1}{ \sqrt{-g} } \partial_\nu \sqrt{-g}

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 54 Resumen-Acción Hilbert-Einstein 3.pdf

(54.1) Tensor de Ricci:
Ver fórmula (16.1) R_{\sigma \nu} = \partial_\mu \Gamma^\mu_{\nu \sigma} - \partial_\nu \Gamma^\mu_{\mu \sigma} + \Gamma^\mu_{\mu \lambda} \Gamma^\lambda_{\nu \sigma} - \Gamma^\mu_{\nu \lambda} \Gamma^\lambda_{\mu \sigma}

(54.2) Identidad de Palatini
(variación del tensor de Ricci): \delta R_{\alpha \beta} = \nabla_\lambda \left( \delta \Gamma^\lambda_{\alpha \beta} \right) - \nabla_\beta \left( \delta \Gamma^\lambda_{\lambda \alpha} \right)

(54.3) Variación de la curvatura escalar: \delta R = R_{\alpha \beta} \delta g^{\alpha \beta} + \nabla_a J^a Con: J^a \equiv g^{\alpha \beta} \delta \Gamma^a_{\alpha \beta} - g^{\alpha a} \delta \Gamma^\lambda_{\lambda \alpha}

(54.4) Variación de la acción: \delta S = \int d^4 x \sqrt{-g} \left[ R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R \right] \delta g^{\alpha \beta} + \int d^4 x \ \partial_\lambda \left( \sqrt{-g} \ J^\lambda \right)

(54.5) En una variedad (espacio-tiempo)
cerrada (sin frontera) se cumple: \int d^4 x \ \partial_\lambda \left( \sqrt{-g} \ J^\lambda \right) = 0

(54.6) Ecuaciones de campo
de Einstein en el vacío: R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R = 0

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 55 Resumen-Acción Hilbert-Einstein 4.pdf

(55.1) Métrica inducida: h_{ab} \equiv \frac{ \partial x^\mu }{ \partial y^a } \frac{ \partial x^\nu }{ \partial y^b } g_{\mu \nu}

(55.2) Métrica transversa
(o proyector): h_{\alpha \beta} \equiv g_{\alpha \beta} - n_\alpha n_\beta

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 56 Resumen-Término frontera 1 Curvatura externa.pdf

(56.1) Proyector en ℝ³: P_{ij} = \delta_{ij} - n_i n_j

(56.2) Métrica transversa
(o proyector): h_{\alpha \beta} \equiv g_{\alpha \beta} - n_\alpha n_\beta {h^\alpha}_\beta \equiv \delta^\alpha_\beta - n^\alpha n_\beta

(56.3) Proyección ortogonal: e_\mu^{\perp} = h_\mu^\beta e_\beta

(56.4) Tensor ortogonal: T_\perp^{\mu \nu} \equiv {h^\mu}_\alpha {h^\nu}_\beta T^{\alpha \beta} T^\perp_{\mu \nu} \equiv {h_\mu}^\alpha {h_\nu}^\beta T_{\alpha \beta}

(56.5) Vector de curvatura
extrínseco en ℝ³: K_{ij} = h_{ik} h_{jp} \partial_k n_p

(56.6) Tensor de curvatura extrínseco
para cualquier variedad del espacio-tiempo: K_{\mu \nu} = {h_\mu}^\alpha {h_\nu}^\beta \nabla_\alpha n_\beta

(56.7) Tensor de curvatura extrínseco
en función del vector n: K_{\mu \nu} = \nabla_\mu n_\nu - n_\mu n^\alpha \nabla_\alpha n_\nu

(56.8) Curvatura extrínseca: K \equiv \nabla_\mu n^\mu

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 57 Resumen-Término frontera 2 GHY.pdf

(57.1) Ejercicio propuesto: \text{Comprobar que:} J^\mu = g^{\alpha \beta} \delta \Gamma^\mu_{\alpha \beta} - g^{\beta \mu} \delta \Gamma^\lambda_{\lambda \beta} = g^{\mu \nu} g^{\alpha \beta} \left( \partial_\alpha \delta g_{\nu \beta} - \partial_\nu \delta g_{\alpha \beta} \right) Soluciones enviadas: Roger Balsach

https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 57.pdf

Antonio Gros

https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Antonio Gros - Solución Ejercicio Capítulo 57.pdf

Andrés Pinto

https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Andres Pinto - Solución Ejercicio Capítulo 57.pdf

Pierre Mihalic

https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Pierre Mihalic - Solución Ejercicio Capítulo 57.pdf

Rodolfo Guidobono

https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 57.pdf

Celso Júnior

https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Celso Junior - Solución Ejercicio Capítulo 57.pdf

(57.2) Dada la acción: S[g] = \int_M d^4 x \sqrt{-g} R + 2 \int_{\partial M} d^3 y \sqrt{|h|} K Su variación es: \delta S = \int_M d^4 x \sqrt{-g} \left( R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R \right) \delta g^{\alpha \beta}

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 58 Resumen-Hipervolumen, escalar invariante.pdf

(58.1) Valor absoluto del
jacobiano de la transformación: |J| = \det \left( \frac{ \partial x^\mu }{ \partial x^{\nu'} } \right)

(58.2) Para geometrías Riemannianas
(de tipo espacio, con det g > 0): \sqrt{g} = |J|

(58.3) Para geometrías Lorentzianas
(o pseudo-Riemannianas, con det g < 0): \sqrt{-g} = |J|

(58.4) Hipervolumen (o diferencial de volumen)
en variedades pseudo-Riemannianas: dV \equiv \sqrt{-g} \ d^4 x = \sqrt{-g} \ d^4 y

Resumen (PDF) por Miguel Cañizares

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Miguel Cañizares - 59 Resumen-Ecuaciones campo de Einstein.pdf

(59.1) Métrica de un campo
gravitatorio uniforme y débil: g_{00} = -1 - \frac{2V}{c^2} g_{11} = g_{22} = g_{33} = 1 \text{\footnotesize resto } = 0 Asumiendo: \frac{V}{c^2} <<< 1

(59.2) Símbolos de Christoffel de (59.1): \Gamma^\alpha_{00} = \frac{1}{c^2} g^{\alpha \mu} \partial_\mu V \Gamma^0_{\beta 0} = \frac{1}{c^2} \frac{1}{ 1 + \frac{2V}{c^2} } \partial_\beta V \text{\footnotesize resto } = 0

(59.3) Ejercicio propuesto: \text{Calcular el resto de componentes} \text{de la aproximación del tensor} \text{de Ricci para la métrica (59.1)} Componente R₀₀: R_{00} \simeq \frac{1}{c^2} \nabla^2 V Soluciones enviadas: Roger Balsach

https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 59.pdf

Rodolfo Guidobono

https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 59.pdf

(59.4) Ecuación de campo de Einstein: R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\alpha \beta}

(59.5) Acción de (59.4): S[g] = - \frac{c^4}{16 \pi G} \int d^4 x \sqrt{-g} \ R - \frac{c^4}{8 \pi G} \int d^3 y \sqrt{|h|} \ K + \int d^4 x \sqrt{-g} \ \mathscr{L}_m

(59.6) Ecuación de campo de Einstein
con la constante cosmológica: R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} R + g_{\alpha \beta} \Lambda = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\alpha \beta}

(59.7) Acción de (59.6): S[g] = - \frac{c^4}{16 \pi G} \int d^4 x \sqrt{-g} \ \left( R - 2 \Lambda \right) - \frac{c^4}{8 \pi G} \int d^3 y \sqrt{|h|} \ K + \int d^4 x \sqrt{-g} \ \mathscr{L}_m

(59.8) Ejercicio propuesto: \text{Calcular la variación de la acción de (59.7)} Soluciones enviadas: Roger Balsach

https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 59.pdf

Rodolfo Guidobono

https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Rodolfo Guidobono - Solución Ejercicio Capítulo 59.pdf

Lista de vídeos del Curso de Mecánica Teórica

https://www.youtube.com/playlist?list=PLAnA8FVrBl8C-2TTrbArT1g04RJEckRMG

Fórmulas del Curso de Mecánica Teórica

https://crul.github.io/CursoMecanicaTeoricaJavierGarcia

(61.1) 1-esfera d \Omega^2_{(1)} = d \theta^2

(61.2) 2-esfera d \Omega^2_{(2)} = d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2

(61.3) 3-esfera d \Omega^2_{(3)} = d \alpha^2 + \sin^2 \alpha \left( d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2 \right)

(61.4) 4-esfera d \Omega^2_{(4)} = d \beta^3 + \sin^2 \beta \left( d \alpha^2 + \sin^2 \alpha \left( d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2 \right) \right)

(61.5) Espacio ambiente ℝ²⁺³ con métrica ds^2 = - \left( dz^0 \right)^2 - \left( dz^4 \right)^2 + \left( dz^1 \right)^2 + \left( dz^2 \right)^2 + \left( dz^3 \right)^2

(61.6) Hiperboloide embebido en ℝ²⁺³ - \left( z^0 \right)^2 - \left( z^4 \right)^2 + \left( z^1 \right)^2 + \left( z^2 \right)^2 + \left( z^3 \right)^2 = -1 \left( z^0 \right)^2 + \left( z^4 \right)^2 = \cosh^2 \rho \left( z^1 \right)^2 + \left( z^2 \right)^2 + \left( z^3 \right)^2 = \sinh^2 \rho

(61.7) Métricas AdS₄
Coordenadas globales I ds^2_{\text{AdS}_4} = - \cosh^2 \rho \ dt^2 + d \rho^2 + \sinh^2 \rho \ d \Omega^2_{(2)} - \infty < t < \infty \hspace{6ex} 0 \leq \rho < \infty Coordenadas globales II ds^2_{\text{AdS}_4} = - \left( 1 + r^2 \right) dt^2 + \frac{ dr^2 }{ 1 + r^2 } + r^2 d \Omega^2_{(2)} - \infty < t < \infty \hspace{6ex} 0 \leq r < \infty

(61.8) Transformación de coordenadas del Parche de Poincaré \begin{aligned} & z^0 = r x^0 \\ & z^1 = r x^1 \\ & z^2 = r x^2 \\ & z^4 - z^3 = r \\ & z^4 + z^3 = \frac{1}{r} + r \left( - \left( x^0 \right)^2 + \left( x^1 \right)^2 + \left( x^2 \right)^2 \right) \\ & r = \frac{1}{z} \\ & ds^2_{\text{AdS}_4} = \frac{1}{z^2} \left( dz^2 - \left( dx^0 \right)^2 + \left( dx^1 \right)^2 + \left( dx^2 \right)^2 \right) \\ \end{aligned}

(62.1) Métrica AdS₄ (Parche de Poincaré) ds^2_{\text{AdS}_4} = \frac{L^2}{z^2} \left( -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \right)

(62.2) Tensor de Ricci R_{00} = \frac{3}{z^2} R_{11} = - \frac{3}{z^2} R_{22} = - \frac{3}{z^2} R_{33} = - \frac{3}{z^2}

(62.3) Curvatura escalar R = g^{00} R_{00} + g^{11} R_{11} + g^{22} R_{22} + g^{33} R_{33} = \frac{-12}{L^2}

(62.4) Imponiendo Ecuaciones de Einstein \Lambda = \frac{-3}{L^2}

(62.5) Constante cosmológica en AdS_D \Lambda = \frac{ -(D - 1)(D - 2) }{ 2L^2 }

(62.6) Ejercicio propuesto \text{Dada la métrica:} ds^2_{\text{AdS}_4} = - \left( 1 + \frac{r^2}{L^2} \right) dt^2 + \frac{dr^2}{ 1 + \frac{r^2}{L^2} } + r^2 d \Omega^2_{(2)} \text{Calcular, usando MAXIMA, el Tensor de Ricci} \text{y comprobar que la constante cosmológica es:} \Lambda = \frac{-3}{L^2} Soluciones enviadas: Roger Balsach

https://crul.github.io/CursoTeoriaCuanticaDeCamposJavierGarcia/docs/Roger Balsach - Solución Ejercicio Capítulo 62.pdf

Espacio-Tiempo de Anti de Sitter (PDF) de Andrés Pinto

https://crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/docs/Andres Pinto - Espacio-Tiempo de Anti de Sitter.pdf

(63.1) Geodésicas radiales
nulas en AdS₄ \tan t = \pm \sinh \rho

(63.2) Tiempo en llegar
al infinito espacial t = \frac{\pi}{2}

(63.3) Geodésicas radiales
materiales en AdS₄ \frac{ d\rho }{ d\tau } = \pm \sqrt{ \left( \frac{ E \Big/ m }{ \cosh \rho } \right)^2 - 1 }

(63.4) Radio máximo \cosh \rho_E = \frac{E}{m}

(63.5) Métrica conforme \tan \eta = \sinh \rho ds^2_{\text{AdS}_4} = \frac{1}{ \cos^2 \eta} \left( - dt^2 + d\eta^2 + \sin^2 \eta \ d \Omega^2_{(2)} \right) - \infty < t < \infty \hspace{6ex} 0 \leq \eta \leq \frac{\pi}{2}

(63.6) Frontera conforme en x = x₀ g_{\alpha \beta} (x) = \frac{1}{ \mathcal{Z} (x)^2 } \widetilde{g}_{\alpha \beta} (x) \begin{aligned} &i) &&\mathcal{Z}(x) > 0 \text{ \footnotesize dentro} \\ &ii) &&\mathcal{Z}(x_0) = 0 \\ &iii) &&d\mathcal{Z}(x_0) \neq 0 \\ &iv) &&\widetilde{g}_{\alpha \beta} (x) \text{ \footnotesize posee una frontera en } x_0 \end{aligned}